【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.5 圆锥曲线的应用 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

3.5　圆锥曲线的应用 学习任务 核心素养 1．了解圆锥曲线的实际应用．(重点) 2．结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(难点) 1．通过利用圆锥曲线及其方程解决实际应用问题，培养数学建模素养． 2．借助于圆锥曲线的实际应用，提升数学运算素养． 类型1　椭圆的应用 【例1】　如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． (1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ (2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S＝lh，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米) [解]　(1)如图建立平面直角坐标系，则点P(11，4.5)，椭圆方程为＝1(a>b>0)． 将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝， 此时l＝2a＝≈33.3， 故隧道的拱宽约为33.3米． (2)由椭圆方程＝1，根据题意，将(11，4.5)代入方程可得＝1． 因为，即ab≥99且l＝2a，h＝b， 所以S＝lh＝，当S取最小值时，有＝＝，得a＝11，b＝， 此时l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4． 故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小． 　本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题． [跟进训练] 1．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　) A．a－c＝m＋R　　　　 B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ ABD　[∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得∴(*) 故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2． ∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)， ∴b＝，故D正确．] 类型2　双曲线的应用 【例2】　某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． [解]　如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设M是分界线上的点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50．说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支． 在△APB中，由余弦定理，得 |AB|2＝|AP|2＋|PB|2－2|AP|·|PB|cos 60°＝17 500， 从而a＝25，c2＝＝4 375，b2＝c2－a2＝3 750． 所以所求分界线方程为＝1(x≥25)．于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到点P，右侧的土沿BP运到点P最省工． 　本题是双曲线在现实生活中的应用，解题时，首先将上述问题抽象为数学问题，然后根据有关数学知识解决问题．可把半圆内的点分为三类：一是沿AP到点P较近；二是沿BP到点P较近；三是沿AP，BP到P点同样远近．可利用坐标法解决该题． [跟进训练] 2．由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ [解]　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)． ∵|PB|＝|PC|，∴点P在线 ... ...