【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 学习任务 核心素养 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养． 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？” 思考：怎样计算1＋2＋3＋…＋99＋100 知识点1　等差数列的前n项和公式及推导 等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝＋an)，∴Sn＝． 又∵an＝a1＋(n－1)d，∴上述公式又可以写成Sn＝na1＋d 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式． (　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． (　　) 知识点2　等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． 特别地，若a1>0，d>0，则___是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值． 我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　等差数列前n项和的有关计算 【例1】　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　 　B．22　　　 C．20　　 　D．15 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝_____． (3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝_____． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求数列的基本量的基本方法 求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理． (1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三 ... ...