2.1 直线的斜率 学习任务 核心素养 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的核心素养． 2．通过学习直线斜率的概念及计算，培养数学抽象和数学运算素养． 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线． 如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0． 2．直线的倾斜角α的取值范围为0α<π． 1．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ [提示] 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°． ( ) (2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在． ( ) (3)不存在倾斜角相同的直线． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角． 如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论： (1)经过A(－1，－1)，B(3，－1)的直线l1； (2)经过C(2，1)，D(2，2)的直线l2； (3)经过E(－1，0)，F (1，2)的直线l3． 知识点2 直线的斜率 1．直线的斜率 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝tan α． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线(设直线的倾斜角为α)的斜率公式为k＝tan α＝． 2．当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？ [提示] 当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． ( ) (2)若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应． ( ) (3)与y轴垂直的直线的斜率为0． ( ) (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 类型1 直线的倾斜角 【例1】 (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° (2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°α<180°时，倾斜角为α－135° (1)D (2)D [(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知： 当0°α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．] 求直线倾斜角的方法及注意点 (1)方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为 ... ...
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