【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 学习任务 核心素养 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线方程五种形式之间的相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养． 所有直线的方程都能表示成点斜式吗？都能表示成斜截式吗？都能表示成两点式吗？如果能，说明理由；如果不能，举出反例，并思考直线的方程都能写成什么样的形式． 知识点1　直线的一般式方程 (1)定义 关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，我们把方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)称为直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴？(2)与x轴重合？(3)平行于y轴？(4)与y轴重合？ [提示]　当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 知识点2　直线的方向向量和法向量 (1)直线的方向向量：与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量．用它来表示直线的方向． (2)直线方向向量的性质： ①直线的方向向量相互平行，互为实数倍． ②斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍． (3)直线的法向量：与直线l垂直的非零向量n＝(A，B)称为直线l的法向量． 2．若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为_____． (1，－1)(答案不唯一)　[直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．] 类型1　直线的一般式方程化为其他形式的方程 【例1】　已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． [解]　由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2． 截距式方程为：＝1． 由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2． 　直线的一般式方程化为其他形式的方程的方法 (1)化为斜截式：通过移项、方程两边同时除以一个数等恒等变形，化为y＝kx＋b的形式． (2)化为截距式：通过移项、方程两边同时除以一个数等恒等变形，化为＝1的形式． [跟进训练] 1．(1)若直线x＋2y＋1＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则(　　) A．k＝－2，b＝－　　　　 B．k＝－，b＝－1 C．k＝－，b＝－ D．k＝－2，b＝－1 (2)直线2x－y＋1＝0的截距式方程为_____． (1)C　(2)＝1　[(1)直线的斜截式方程为y＝－x－，则k＝－，b＝－， 故选C． (2)由2x－y＋1＝0得2x－y＝－1． 所以＝1．] 类型2　直线的一般式方程的应用 【例2】　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0． (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． [解]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－． (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠，且m≠－1． 由直线l的一般式方程化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍 ... ...