【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.4 点到直线的距离 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2章 平面解析几何初步 2.4　点到直线的距离 学习任务 核心素养 1．理解点到直线的距离公式的推导过程，会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线间的距离．(难点) 2．掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式，能用两点间的距离公式及点到直线的距离公式解决实际问题．(重点) 通过研究两点间的距离公式、点到直线的距离公式即两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P． 必备知识·情境导学探新知 (1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ (2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？ 知识点1　两点间的距离公式 两点间的距离公式：平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝． 体验　1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a＝(　　) A．1　　　B．－5　　　C．1或－5　　D．－1或5 C　[由两点间距离公式得(a＋2)2＋(3＋1)2＝52， ∴(a＋2)2＝9，∴a＝1或a＝－5，故选C．] √ 知识点2　点到直线的距离公式 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 思考　1．(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法？ [提示]　(1)直线方程应为一般式． (2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解： P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|； P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|． 体验　2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝_____． 　[d＝＝．] 　 知识点3　两平行线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 思考　2．(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？ [提示]　(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同． (2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|． 体验　3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．1 C　[由两条平行直线的距离公式得： d＝＝．] √ 类型1　两点间距离公式及应用 【例1】　(1)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5，5)　　　　　　　　 B．(－1，1) C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1) 关键能力·合作探究释疑难 √ (2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． (1)C　[设点P(x，y)，则y＝．由|PA|＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5．当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5， ∴P(－1，1)或(5，5)，故选C．] (2)[证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)， D(m，0)(－b