【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.5 2.5.2 圆的一般方程 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2章 平面解析几何初步 2.5　圆的方程 2.5.2　圆的一般方程 学习任务 核心素养 1．掌握圆的一般方程及其特点．(重点) 2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，会由一般式求圆心和半径．(易混点) 3．能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程．(重点、难点) 1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养． 把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　圆的一般方程 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① (1)当_____时，方程①表示以点为圆心，以为半径的圆； (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①只有一个解，表示一个点； D2＋E2－4F>0 (3)当_____时，方程①无实数解，不表示任何图形． 综上，我们将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(_____)叫作圆的一般方程． D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F>0 体验　(1)圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是_____． (2)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝_____． (1)(3，0)　(2)4　[(1)方程x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，则圆心坐标为(3，0)． (2)由题意知解得] (3，0) 4 类型1　圆的一般方程满足的条件 【例1】　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____，半径是_____． (2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． ①求实数m的取值范围； ②写出圆心坐标和半径． 关键能力·合作探究释疑难 (－2，－4) 5 (1)(－2，－4)　5　[方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5．] (2)[解]　①法一：根据D2＋E2－4F>0求解． 由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为． 法二：化为圆的标准方程求解． 方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m． 由题意知1－5m>0，即m<． 所以实数m的取值范围是． ②将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝． 反思领悟　二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为＋＝，根据圆的标准方程来判断． [跟进训练] 1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝ －4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2．因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为r＝＝|m－2|． 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为r＝|m－2|． 类型2　求圆的一般方程 【例2】　已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F (1，1)． (1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标； (2)求△ABC的 ... ...