第二课时 函数的表示方法 学习目标 1.掌握函数的三种表示方法.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.培养数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系,并能解决有关问题.培养数学建模的核心素养. 知识探究 1.函数的三种表示方法 表示法 定义 列表法 通过列出自变量与对应函数值来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 解析法 用代数式或解析式表示两个变量之间的对应关系 [思考1] 所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗 为 什么 提示:并不是所有的函数都能用解析式表示.事实上,图象法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段. 2.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. [思考2] 分段函数的三要素是什么 提示:分段函数的三要素: ①定义域:每一段上x的取值范围的并集. ②值域:所有函数值组成的集合. ③对应关系:在每一段上的对应关系不同. [思考3] 如何理解取整函数与常数函数 提示: 函数 代表形式 定义域 值域 (高斯)取整函数 f(x)=[x] R Z 常数函数 f(x)=C R C(常数) 3.函数的图象 函数的图象能直观地反映出函数的一些性质,因此,解答函数问题时常常借助于图象. [思考4] 作函数图象一般有哪些步骤 需要注意哪些问题 提示:函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象. (1)函数三种表示方法的优缺点 表示方法 列表法 图象法 解析法 优点 具体,易用,不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 能直观、形象地表示函数的变化情况 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 缺点 不够全面,只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,且有时误差较大 不够直观、形象、具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表达出来 (2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈. 探究点一 函数的表示方法 [例1] 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示 出来. 解:①列表法: x∕台 1 2 3 4 5 y∕元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x∕台 6 7 8 9 10 y∕元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法:如图所示. ③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. (1)函数的三种表示法的选择 采用解析法和图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. (2)在用三种方法表示函数时要注意的问题 ①解析法必须注明函数的定义域. ②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系. ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. [针对训练] (1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( ) (2)已知函数f(x),g(x)分别由表给出. x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为 ;当g(f(x))=2时,x= . 解析:(1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.故 ... ...
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