3.1.2 函数的单调性 第一课时 函数单调性的定义、判断及简单应用 学习目标 1.理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义.会用单调性的定义证明函数的单调性.会求函数的单调区间.提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,培养直观想象和数学运算的核心素养. 知识探究 1.增、减函数的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图(2)所示. 两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). [思考1] 关于函数单调性的定义要注意哪些问题 提示:(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域内的不同区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1x2). [思考2] 若函数y=f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,能说函数y=f(x)在A∪B表示的区间上是增(减)函数吗 提示:不能,如函数f(x)=-在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,但是函数f(x)=-在(-∞,0)∪(0,+∞)上却不是增函数,这是因为2与-2都是(-∞,0)∪(0,+∞)内的值,虽然2>-2,但是f(2)x2时)上的平均变化率. (2)平均变化率与单调性的关系 ①y=f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立,如图(1); ②y=f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立,如图(2). [思考3] 函数的平均变化率是固定不变的吗 提示:不一定.当x1取定值后,Δx取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.比如,f(x)=x2在区间[0,2]和[2,4]上都有Δx=2,但Δy分别为4-0=4和16-4=12. 事实上,根据下面将要学均变化率的几何意义可知,曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等,即一般情况下函数的平均变化率是不相同的. [思考4] 如果=0在I上恒成立,那么函数f(x)有什么特点 提示:函数f(x)是常数函数. (1)与单调性判断的等价结论 在x∈D上,f(x)是增函数,x1,x2∈D,且x1≠x2 (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0 >0. 在x∈D上,f(x)是减函数,x1,x2∈D,且x1≠x2 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0. (2)判断函数单调性的常用方法 ①定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结论”进行判断. ②根据平均变化率的变化判断. ③图象法.根据函数图象的升、降情况进行判断. ④直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出. ⑤根据一些常用结论推理判断. 探究点一 函数单调性的判断与证明 [例1] 证明函数y=在(-1,+∞)上是减函数. 证明:法一 记y=f(x),任取x1,x2∈(-1,+∞),且x10,x1+1>0, x2+1>0, 所以>0, 即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 所以y=在(-1,+∞)上是减函数. 法二 设x1≠x2,那么==-, 又x1,x2>-1,所以-<0,即<0,所以y=在(-1,+∞)上是减函数. 证明函数单调性的两种方法 (1)利用单调性定 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
