1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 学习目标 1.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,提升数学抽象的核心素养. 2.理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命题和存在量词命题,并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假.培养逻辑推理的核心素养. 知识探究 1.命题的定义与分类 (1)命题的定义:在数学中,我们把可供真假判断的陈述语句叫做命题. (2)分类 命题 [思考1] 命题概念中涉及几个要点 提示:命题定义中涉及两个要点:“可以判断真假”和“陈述语句”. [思考2] “命题一定是陈述句,但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗 提示:正确.根据命题的定义,命题一定是陈述句,但陈述句中只有能够判断真假的才是命题. 2.全称量词与全称量词命题 (1)一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“ ”表示. (2)含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可用符号简记为 x∈M,r(x). [思考3] 同一个全称量词命题的表述是否是唯一的 提示:不唯一.对于同一个全称量词命题,由于自然语言不同,可以有不同的表述方法,只要含义正确即可. 3.存在量词与存在量词命题 (1)一般地,“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“ ”表示. (2)含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可用符号简记为“ x∈M,s(x)”. [思考4] 全称量词命题与存在量词命题有什么区别 提示:(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”. (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”. (1)命题的结构 ①命题的一般形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论. ②确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式. (2)理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点 ①全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题; ②有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”; ③存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等. (3)常见的全称量词命题及存在量词命题及其表述 命题 全称量词命题 x∈M,p(x) 存在量词命题 x∈M,p(x) 表述 方法 ①所有的x∈M,使p(x)成立 ①存在x∈M,使p(x)成立 ②对一切x∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使p(x)成立 ③对每一个x∈M,使p(x)成立 ③某些x∈M,使p(x)成立 ④对任意一个x∈M,使p(x)成立 ④存在某一个x∈M,使p(x)成立 ⑤若x∈M,则p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 探究点一 命题及其真假判断 [例1] 判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 (2)一个数不是正数就是负数; (3)平行四边形的对角线相等且互相平分; (4)末位是0的整数能被5整除; (5)求证 是无理数. 解:(1)疑问句不是命题. (2)是命题,假命题.0既不是正数也不是负数. (3)是命题,假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等. (4)是命题,真命题. (5)祈使句,不是命题. (1)判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件:“是陈述句”和“可以判断真假”,而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)要判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可,而要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证. [针对训练] 判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假. (1)各位数字之和是3的倍数的整数,能被3整除; (2)一个数不是奇数就是偶数; (3)2024年6月1日山东某地会下雨; (4)菱形的对 ... ...
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