1.2.3 充分条件、必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的定义.提升逻辑推理的核心素养. 2.通过充分条件、必要条件的应用,培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 知识探究 1.充分条件与必要条件 一般地,“如果p,那么q”为真命题,即p q,我们称p是q的充分条件,q是p的必要条件,“如果p,那么q”为假命题,即p q,我们称p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. [思考1] 若p是q的充分条件,p是唯一的吗 q是唯一的吗 举例 说明. 提示:不一定唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件. [思考2] 如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要” 提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即必须要有,缺之不可. 2.充要条件 如果p q且q p,则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件),记作p q. [思考3] 符号“ ”的含义是什么 提示:符号“ ”的含义是“等价于”.例如,“p q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只需p”;“p q”的含义还可以理解为“p q且q p”. [思考4] p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗 提示:不相同.两者都有p与q等价的含义,但是两种叙述方式中的条件与结论不同:“p是q的充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即p q为真,充分性成立,q p为真,必要性成立;而“q是p的充要条件”中的条件是“q”,结论是“p”,即q p为真,充分性成立,p q为真,必要性成立. [思考5] 若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗 p可能是q的必要条件吗 提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件. p是q的充分条件反映了p q,而q是p的必要条件也反映了p q,所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.而p是q的充分条件只反映p q,与q能否推出p没有任何关系.在逻辑推理中,p q可以表达成以下五种说法: ①“若p,则q”为真命题;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q. 探究点一 充分条件与必要条件的判断 [例1] 下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件. (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)p:x>1,q:x2>1; (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; (4)p:a∠B,则BC>AC;反之,若BC>AC,则∠A>∠B.因此,p是q的充要条件. (2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1.因此,p是q的充分不必要条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定只得到a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必要不充分条件. (4)由a
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