3.4 函数的应用(一) 【学习目标】 理解函数模型的应用: 能结合具体情境,合理选择已经学习过的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型,解决简单的实际问题. ◆ 知识点一 一次函数、二次函数模型 1.正比例函数模型 解析式:y= . 2.一次函数模型 解析式:y= . 3.二次函数模型 解析式:y= . ◆ 知识点二 幂函数模型 解析式:y=axα+b,a,b,α为常数,α≠0,a≠0. ◆ 知识点三 分段函数模型 这个模型实际上是以上两种或多种模型的综合,其解析式形如f(x)= ◆ 知识点四 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如下: ◆ 探究点一 一次函数、二次函数模型 例1 (1)(多选题) 某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②,图③中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法,其中正确的说法是 ( ) A.图②对应的方案是:提高票价,并提高固定成本 B.图②对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本 C.图③对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变 D.图③对应的方案是:提高票价,并降低固定成本 (2)近几年来,“盲盒文化”广为流行,这种文化已经在中国落地生根,并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线,每年可有50万元的总收入,已知生产此盲盒x(x为正整数)年的各种费用总计为(2x2+10x)万元. ①该公司生产此盲盒几年首次盈利(总收入超过总支出,今年为第一年) ②该公司生产此盲盒几年年平均利润最大,最大为多少 [素养小结] (1)一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理. (2)对于一次函数在实际问题中的应用题目,要认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域. (3)在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题确定函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大值、最小值等问题. ◆ 探究点二 分段函数模型 例2 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.已知当月产量x(单位:台,x∈N*)超过400时,总收入R(单位:元)恒为80 000,当月产量x不超过400时,R与x满足R=ax2+400x,且当x=400时,R取得最大值80 000. (1)将总收入R表示为月产量x的函数. (2)将利润P(单位:元)表示为月产量x的函数. (3)当月产量为多少台时,每台仪器所获的利润最大 最大利润为多少元 变式 某公司生产一类电子芯片,且该电子芯片的年产量不超过35万件,每万件电子芯片的售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年.记每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为f(x)万元,已知当年产量不超过14万件时,f(x)=x2+4x;当年产量超过14万件时,f(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润g(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本). (2)为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片 [素养小结] 解答分段函数问题必须遵循“对号入座”的解题原则,即根据题设条件在各段函数解析式中解决问题.求分段函数的最值时,注意取各段的最大(小)值的最大(小)者为函数的最大(小)值. ◆ 探究点三 幂函数模型 例3 (1)某类动物的新陈代谢率y与体重x满足 ... ...
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