4.3.2 对数的运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

4.3.2　对数的运算 【学习目标】 　　1.理解对数的运算性质:(1)能类比指数幂的运算性质发现对数的运算性质,能根据指数与对数的关系加以解释;(2)能利用对数的运算性质进行对数式的求值、化简与证明. 　　2. 理解对数换底公式:知道对数换底公式的作用,会用对数换底公式将已知对数化为常用对数或指定底数的对数. ◆ 知识点一　对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=　　　　　; (2)loga=　　　　　; (3)logaMn=　　　　(n∈R). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)log2x2=2log2x. (　 ) (2)logaM·logaN=loga(M+N)(a>0,且a≠1,M>0,N>0). (　 ) (3)log2[(-5)×(-7)]=log2(-5)+log2(-7). (　 ) ◆ 知识点二　对数换底公式 1.logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论: (1)logab=(b>0,且b≠1,a>0,且a≠1); (2)lobm=logab(a>0,且a≠1,b>0,n≠0); (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)由对数换底公式可得logab=(a>0且a≠1,b>0). (　 ) (2)若loga2=m(a>0,且a≠1),则log4a=.(　 ) (3)若lg 6=a,lg 8=b,则log68=. (　 ) ◆ 探究点一　对数运算性质的应用　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)若a>0,且a≠1,M>0,N>0,且N≠1,m,n∈N*,则下列说法正确的是 (　 ) A.logaM·logaN=loga(M+N) B.=loga(M-N) C.loga=logaM　　 D.log(a-1)M+log(a-1)N=log(a-1)(MN) (2)求下列各式的值: ①log32+log3;②lg-lg 25;③log2(49×26). (3)用logax,logay,logaz(a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0)表示下列各式. ①loga(xy2);②loga(x);③loga. [素养小结] 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. ◆ 探究点二　利用对数的运算性质化简、求值 例2 计算下列各式: (1)lg 25+lg 2+; (2)lg-lg+lg; (3)log535-2log5+log57-log51.8. 变式 计算下列各式: (1)log216+log535-log514-log5; (2)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20; (3); (4)log279+2lg 5+lg 4-. [素养小结] 利用对数的运算性质化简、求值的策略: (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用; (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简. ◆ 探究点三　对数换底公式的应用 例3 (1)化简下列各式: ①log225×log34×log59=　　　　; ②log23×log38+(=　　　　; ③-log37×log79+log186+log183= 　　　　. (2)若2m=3n=k,且+=1,则实数k的值为　　　　. 变式 (1)[2025·长沙明德中学高一期中] 设a=lg 6,b=lg 20,则log23= (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·南通高一期中] 若2a=5b=20,则+= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 [素养小结] (1)对数换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数,然后查表求值,以此来解决对数求值的问题. (2)对数换底公式的本质是化异底为同底,这是解决对数问题的基本方法. ◆ 探究点四　实际问题中的对数计算 例4 测定古植物的年代,可用放射性碳法.植物内部含有微量的放射性元素14C,在植物死亡后,新陈代谢停止,14C就不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5730年(14C的半衰期)14C的残余量就只有原始含量的.经过科学测定,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量a'与a之间满足关系式a'=a·e-kt.现有一出土古植物,其中的14C的残余量约占原始含量的87.9%,则该古植物约在　　　　年前死亡.(结果保留整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 0.879≈-0.056) 变式 在有声世界,声强级表示声强的相对大小,其值为y(单位:dB),定义y=10lg,其中I为声场中某点的声 ... ...