5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式(一) 【学习目标】 1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程. 2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简. ◆ 知识点一 诱导公式二~四 终边关系 图示 公式 公 式 二 角π+α与角α的终边关于 对称 sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= 公 式 三 角-α与角α的终边关于 轴对称 sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= 公 式 四 角π-α与角α的终边关于 轴对称 sin(π-α)= , cos(π-α)= , tan(π-α)= 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. ( ) (2)诱导公式中的角α一定是锐角. ( ) (3)由诱导公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). ( ) (4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. ( ) ◆ 知识点二 任意负角的三角函数化为锐角的三角函数的步骤 ◆ 探究点一 给角求值 例1 (1)cos= ( ) A. B.- C. D.- (2)sin 780°+tan 240°的值是 ( ) A. B. C.+ D.-+ (3)的值为 . 变式 (1)sin·cos·tan= . (2)[2024·北京首师大二附中高一月考] 计算:cos 300°-sin(-330°)+tan 675°= . [素养小结] 求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为:负角化正角→正角化周内角→周内角化锐角→求值. ◆ 探究点二 给值(式)求值 例2 (1)若sin(π-α)=-,且α∈,则cos(π+α)的值为 ( ) A. B.- C.± D.以上都不对 (2)已知tan=,则tan= ( ) A.- B.- C. D. (3)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)= . 变式 (1)已知cos=,则cos-sin2= . (2)已知sin=,则sin= ,cos·cos= . [素养小结] 解决给值(式)求值问题的策略 (1)解决给值(式)求值问题,首先要仔细观察所给条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化. ◆ 探究点三 三角函数式的化简 例3 化简:. 变式 求证:当k=2或k=3时,=. [素养小结] 三角函数式化简的常用方法: (1)合理转化:①将角化成kπ±α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z;②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. (2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. 5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式(一) 【课前预习】 知识点一 原点 -sin α -cos α tan α x -sin α cos α -tan α y sin α -cos α -tan α 诊断分析 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 【课中探究】 探究点一 例1 (1)A (2)A (3)-2 [解析] (1)由诱导公式,可得cos=cos=cos=cos=.故选A. (2)sin 780°+tan 240°=sin(720°+60°)+tan(180°+60°)=sin 60°+tan 60°=+=.故选A. (3)原式== = = ==-2. 变式 (1) (2)-1 [解析] (1)sin·cos·tan=sin·cos·tan=-sin·cos·=-××=. (2)cos 300°-sin(-330°)+tan 675°=cos(360°-60°)-sin(-360°+30°)+tan(720°-45°)=cos 60°-sin 30°-tan 45°=--1=-1. 探究点二 例2 (1)B (2)B (3) [解析] (1)由sin(π-α)=-,得sin α=-,又α∈,∴cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-.故选B. (2)根据题意,tan=tan=tan=-tan=-.故选B. (3)因为cos(α-55°)=-<0,且α为第四象限角,所以α-55°是第三象限角,故sin(α-55°)=-=-.又α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=. 变式 (1)- (2)- [解析] (1)因为cos=,所以sin2=1-cos2=1-=,可得cos-sin2=cos-sin2=-cos-sin2=--=-. (2)因为sin=,所以sin=sin=-sin= ... ...
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