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课件网) 第十三章 三角形 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 第3课时 三角形的外角 能运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.(重点） 学习目标 1 2 3 理解并掌握三角形的外角的概念. 掌握三角形外角的性质.(重点） 知识回顾 三角形的内角和等于180°. 如图，在△中，∠，∠，则∠. 如果我们将延长至点，则可以得到一个新角∠ A B C D 思考： ∠还是△的内角吗？ 知识讲解 ★ 三角形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. A B C D ∠ACD是△ABC的一个外角 探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） ∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. ★三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， C B A D 每一个三角形都有6个外角． 总结归纳 ★ 三角形的外角的性质 问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ ∠A+∠B=∠BCD 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 D 证明：过C作CE∥AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. ★三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ▼应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 拓 展 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小. 如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图1 A B C 1 2 图2 A B C 1 2 E 3 D 三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于，∠，∠ 应分别是，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？ 解：如图所示，延长 因为∠ 是△ 的一个外角， 所以∠ ＝∠ ∠. 又因为∠ 是△ 的一个外角， 所以∠ ＝∠ ∠. 所以∠ ＝∠ ∠ ∠. 所以可以断定这个零件不合格. 例2 如图，△中，延长线上一点， 延长线上一点，上一点，连接. 求证： ∠ ∠. 证明：∵ ∠是△的一个外角， ∴ ∠∠. ∵ ∠ 是△ 的一个外角， ∴ ∠∠， ∴ ∠∠. ★ 三角形的外角和 例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 ° ，② ∠ACD +∠3=180 ° .③ 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+ (∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 结论：三角形的外角和等于360°. 解法3 ：如图所示，过点 作射线，使∥. ∵ ∥， ∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠. ∴ ∠∠∠ ＝∠∠∠. A B C E F D ( ( ( ( ( 2 3 P 1 ( ( 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠ ... ...
