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课件网) 1.2 利用二分法 求方程的近似解 1.了解二分法求方程的近似解的思想方法,提升数学抽象的核心素养.2.通过利用二分法求具体方程的近似解的过程,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 【课程标准要求】 知识点一 二分法的概念 1.满足精确度ε的近似解 2.二分法的定义 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线, ,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. f(a)·f(b)<0 中点 [思考1] 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解 提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反),因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. 知识点二 二分法求方程近似解的步骤 利用二分法求方程近似解的过程可以用图示表示. 其中:“初始区间”是一个两端点函数值 的区间; 新区间的一个端点是原区间的 ,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值 . 异号 中点 异号 [思考2] “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗 提示:不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间为(1.25,1.34),若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34. 『知识拓展』 用二分法求方程f(x)=0的近似解的步骤 (1)确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点x1. (3)计算f(x1): ①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; ②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,那么区间[a,b]内任意一个数都是满足精确度ε的近似值;否则重复(2)～(4). 题型一 二分法的概念 ACD (2)用二分法求f(x)=x2-6的零点时,初始区间可取( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) C 【解析】 (2)因为f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3,f(4)= 42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内. 故选C. ·解题策略· 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据 其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不 适用. [变式训练] (多选题)下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求其零点的是( ) AC A B C D 【解析】 由选项A,C中函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右不变号;由选项B,D中的函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右变号,因此不能用二分法求其零点的是A,C.故选A,C. 题型二 利用二分法求函数零点的近似值或方程近似解 [例2] 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02) 【解】 经计算,f(1)=-2<0,f(2)=5>0, 所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解. 取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0, 所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解. 如此下去,得到方程x3-3=0的解所在的区间如表: 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 1 -2 2 5 1 第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5 第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25 第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125 第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5 第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 4 0.031 25 第7次 1.437 5 -0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625 至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,故方程的解就在这个区间内,因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解. ·解题策略· 用二分法求函数 ... ...
