【学霸笔记：同步精讲】第三章 微专题3 函数性质的综合应用 课件--2026版高中数学人教B版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章 函数 微专题3　函数性质的综合应用 函数的性质是历年高考命题的热点，主要有判断函数的单调性、奇偶性，根据单调性、奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合解不等式问题等考查方向，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、直观想象等核心素养的考查． 类型1　分段函数的单调性 【例1】　若函数f (x)＝在R上是增函数， 则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．[4，8) C．[1，4) D．[2，8) √ B　[因为函数f (x)在R上是增函数，所以f (x)在(－∞，1]上单调递增，故4－>0，即a<8．当x>1时，f (x)＝x2单调递增，所以f (x)>1．当x≤1时，f (x)＝x－1单调递增，所以f (x)≤3－．又函数f (x)在R上是增函数，所以3－≤1，即a≥4．又a<8，所以4≤a<8．故a的取值范围是[4，8)．] 类型2　函数的奇偶性 【例2】　定义在R上的函数f (x)对任意实数a，b都有f (a＋b)＋f (a－b)＝2f (a)·f (b)成立，且f (0)≠0． (1)求f (0)的值； (2)试判断f (x)的奇偶性． [解]　(1)令a＝b＝0，则f (0)＋f (0)＝2f (0)·f (0)， 即f (0)＝f 2(0)． 因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)令a＝0，b＝x， 则f (x)＋f (－x)＝2f (0)·f (x)． 因为f (0)＝1， 所以f (x)＋f (－x)＝2f (x)． 所以f (x)＝f (－x)． 所以f (x)是R上的偶函数． 【例3】　判断函数f (x)＝的奇偶性． [解]　由得－2≤x≤2且x≠0， 所以函数的定义域为[－2，0)∪(0，2]， 此时f (x)＝， 有f (－x)＝＝－＝－f (x)， 所以函数f (x)为奇函数． 类型3　抽象函数的单调性 【例4】　设f (x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f (m＋n)＝ f (m)·f (n)(f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，00； (3)求证：f (x)在R上是减函数． [证明]　(1)根据题意，令m＝0，可得f (0＋n)＝f (0)·f (n)， ∵f (n)≠0，∴f (0)＝1． (2)由题意知，当x>0时，00； 当x<0时，－x>0，∴00． 故x∈R时，恒有f (x)>0． (3)设任意的x1，x2∈R，且x10． ∵x2－x1>0， ∴00，即f (x1)>f (x2)， 故f (x)在R上是减函数． 类型4　函数性质的综合应用 【例5】　已知函数f (x)＝为偶函数． (1)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明； (2)当x∈(其中m＞n＞0)时，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]，求正实数m，n的值． [解]　(1)函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：因为函数f (x)＝为偶函数， 所以 而f (1)＝f (－1)，解得a＝－3， 所以f (x)＝＝＝1－． 任取x1>x2>0， f (x1)－f (x2)＝， 所以f (x1)－f (x2)＝＝＝， 因为x1>x2>0， 所以x1－x2>0，x1＋x2>0， 所以f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)， 故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可知，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为x∈，函数f (x)的值域恰为[3－9m，3－9n]， 所以 即m，n为方程1－9x2＝3－9x的两根， 整理得，9x2－9x＋2＝0，解得x1＝，x2＝， 又m>n>0，所以m＝，n＝． 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 一、选择题 1．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x)＝x＋1，下列大小关系正确的是(　　) A．f (1)＞f (2) B．f (1)＞f (－2) C ... ...