【学霸笔记：同步精讲】1.4 1.4.1 充分条件与必要条件 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1．理解充分条件、必要条件的概念．(数学抽象) 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(数学抽象) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 探究1　命题的概念与结构 问题1　你能判断这些语句的真假吗？ (1)x>2； (2)若A B，则A∩B＝A； (3)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (4)两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等． _____ _____ _____ [新知生成] (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断____的_____叫做命题．判断为__的语句是真命题，判断为__的语句是假命题． (2)“若p，则q”形式的命题中，_称为命题的条件，_称为命题的结论． [典例讲评]　1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q． (1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； (2)对顶角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____　只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”． [学以致用]　1．判断下列命题的真假． (1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； (3)等腰三角形的底角相等； (4)矩形的对角线相等． _____ _____ _____ 探究2　充分条件与必要条件 问题2　考察下列各组中p与q之间的关系： (1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； (2)p：a>2，q：a>4； (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． _____ _____ _____ [新知生成] 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p__q p q 条件关系 p是q的____条件 q是p的____条件 p不是q的____条件 q不是p的____条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_____； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_____ [典例讲评]　【链接教材P18例1、P19例2】 2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：同位角相等，q：两条直线平行； (4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A B，则甲是乙的必要条件． [学以致用]　2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 (2)使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　 B．x>0 C．x>2 　 D．x<2 探究3　充分条件与必要条件的应用 [典例讲评]　3．(1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是－＜x＜，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [学以致用]　3．(1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取 ... ...