【学霸笔记：同步精讲】3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

第2课时　函数的最大(小)值 [学习目标]　1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 问题2．函数最大值、最小值的定义是什么？ 探究1　利用图象求函数的最值 问题1　如图，设函数f (x)＝(x－1)2图象上最低点的纵坐标为M． (1)对函数定义域内任意自变量x，f (x)与M的大小关系如何？ (2)M是函数f (x)的最大值还是最小值？ 提示：(1)f (x)的定义域为R， x∈R，f (x)≥M． (2)M是函数f (x)的最小值． 问题2　你能以f (x)＝－(x－1)2为例说明f (x)的最大值的含义吗？ 提示：f (x)的定义域为R， x∈R，f (x)≤f (1)＝0，称f (1)＝0为函数f (x)＝－(x－1)2的最大值． [新知生成] 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 【教用·微提醒】　函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标． [典例讲评]　1．已知函数f (x)＝ 求函数f (x)的最大值、最小值． [解]　 作出f (x)的图象，如图． 由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值2； 当x＝时，f (x)取最小值－． 所以f (x)的最大值为2，最小值为－． 　图象法求最值的基本步骤 [学以致用]　【链接教材P81练习T2】 1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　) A．2　B．1　　C．－1　D．无最大值 B　[ f (x)的图象如图中实线所示，f (x)的最大值是1，故选B． ] 【教材原题·P81练习T2】设函数f (x)的定义域为[－6，11]．如果f (x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，画出f (x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f (－2)是函数f (x)的一个_____． 最小值　[依题意，f (x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增， 从函数图象上可得，图象在[－6，－2]上从左至右下降，在[－2，11]上从左至右上升，从而可得f (x)在[－6，11]上的大致图象如图所示． 由图可知f (－2)是函数f (x)的一个最小值．] 【教用·备选题】　已知函数f (x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f (x)的图象，并根据图象解决下列两个问题． (1)写出函数f (x)的单调区间； (2)求函数f (x)在区间上的最大值． [解]　f (x)＝|x|(x＋1)＝ 的图象如图所示． (1)f (x)在和(0，＋∞)上单调递增， 在上单调递减， 因此f (x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为． (2)因为f ， 所以f (x)在区间上的最大值为． 探究2　利用单调性求函数的最值 (值域) [典例讲评]　【链接教材P81例5】 2．已知函数f (x)＝． (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：f (x)在[2，6]上单调递增； (3)求f (x)在[2，6]上的最大值与最小值． [解]　(1)由x－1≠0得x≠1， ∴f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)证明： x1，x2∈[2，6]，且x10，x2－1>x1－1>0， ∴f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)>f (x1)， ∴f (x)在上单调递增． (3)由(2)知f (x)在上单调递增， ∴f (x)max＝f (6)＝，f (x)min＝f (2)＝1． 【教材原题·P81例5】 例5　已知函数f (x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值． 分析：由函数f (x)＝(x∈[2，6])的图象(图3.2-5)可知，函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递减．所以，函数f (x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取 ... ...