【学霸笔记：同步精讲】4.2 4.2.1 指数函数的概念 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 [学习目标]　1．通过具体的实例，了解指数函数的实际意义．(数学抽象) 2．理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．能从实际问题中抽象出指数函数，由此解决实际问题．(数学建模) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．指数函数的概念是什么？ 问题2．刻画指数增长(衰减)型函数模型具有什么特征？ 探究1　指数函数的概念 问题　将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？ 提示： 折叠次数 对应层数 对折后的面积S x＝1 y＝2＝21 S＝ x＝2 y＝4＝22 S＝ x＝3 y＝8＝23 S＝ … … … x y＝2x(x∈N*) S＝(x∈N*) [新知生成] 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 【教用·微提醒】　指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． [典例讲评]　1．(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x． A．1 　 B．2 C．3 　 D．0 (2)已知函数f (x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_____． (1)D　(2)∪(1，＋∞)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数是x2－1，不是自变量x，所以不是指数函数； ③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数； ④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D． (2)由题意可知解得a>且a≠1， 所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．] 　判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． [学以致用]　1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为_____． 2　[由指数函数的定义知　 由①得a＝1或a＝2，结合②得a＝2．] 探究2　求指数函数的解析式或求值 [典例讲评]　【链接教材P114例1】 2．(多选)已知指数函数f (x)满足，则下列结论中正确的是(　　) A．f (x)＝5x 　 B．f (x)＝5－x C．f (－1)＝ 　 D．5f (1)＝f (2) ACD　[设指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，于是， 即，因此a＝5， 函数f (x)＝5x，A正确，B错误； 显然f (－1)＝5-1＝，C正确； 又5f (1)＝5×5＝25＝52＝f (2)，因此D正确． 故选ACD．] 【教材原题·P114例1】 已知指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f (3)＝π，求f (0)，f (1)，f (－3)的值． 分析：要求f (0)，f (1)，f (－3)的值，应先求出f (x)＝ax的解析式，即先求a的值． [解]　因为f (x)＝ax，且f (3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是f (x)＝． 所以，f (0)＝π0＝1，f (1)＝，f (－3)＝π-1＝． 　1．待定系数法求指数函数解析式的步骤 (1)设出函数的解析式为f (x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件，求出解析式中的参数． (3)写出函数的解析式． 2．求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式． [学以致用]　2．若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝_____，f (1)＝_____． 　3　[设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)， ∵f (2)＝9，∴a2＝9，a＝3， 即f (x)＝3x．∴f (－2)＝3-2＝，f (1)＝3．] 探究3　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P114例2】 3．2022年某地区人均生产总值为38 852元，2023年为43 992元；如果假定增速不变，取自变量x为2022年后的年数，将该地区人均生产总值用函数G(x)＝C·ax来近似地表示，写出此函数的解析式，依此估计2030年该地区人均生产总值数量和相对于2022年的增长倍数，并说明底数a的意义．(可以使用计算工具) [解]　按假设条件和数据，有 G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992． 解得C＝38 852，a＝≈1 ... ...