【学霸笔记：同步精讲】4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 [学习目标]　1．了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的联系．(直观想象) 2．了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(逻辑推理) 探究1　函数零点的概念 问题1　回想一下，二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是如何定义的？二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与其图象与x轴交点的横坐标存在怎样的关系？ _____ _____ _____ [新知生成] 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使_____叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有____ 函数y＝f (x)的图象与___有公共点． [典例讲评]　1．求下列函数的零点： (1)f (x)＝ (2)f (x)＝(lg x)2－lg x． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数解． (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [学以致用]　1．(多选)若函数f (x)＝ax＋b只有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　) A．－ 　 B．0 C． 　 D．－3 _____ _____ _____ 探究2　函数零点存在定理 问题2　观察函数f (x)＝x2＋2x－3的图象： (1)f (x)在区间(－4，－2)上有零点吗？f (－4)f (－2)的值和0有什么关系？ (2)f (x)在区间(0，2)上有零点吗？f (0)f (2)的值与0有什么关系？ _____ _____ _____ 问题3　如果函数f (x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f (a)f (b)<0，那么f (x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？请画草图辅助说明． _____ _____ _____ [新知生成] 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条_____的曲线，且有_____，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内____有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_____，这个c也就是方程f (x)＝0的解． [典例讲评]　2．(1)已知y＝f (x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是(　　) A．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内有零点，则有f (a)f (b)<0 B．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)>0，则其在(a，b)内没有零点 C．若y＝f (x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，则其在(a，b)内有零点 D．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，则其在(a，b)内有零点 (2)函数f (x)＝lg x－的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) 　 B．(1，10) C．(10，100) 　 D．(100，＋∞) [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　确定函数f (x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)<0．若f (a)f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [学以致用]　【链接教材P155习题4.5T2】 2．(源自北师大版教材)判定方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内解的存在性，并说明理由． _____ _____ _____ 探究3　函数零点个数问题 　判断函数的零点个数 [典例讲评]　【链接教材P143例1】 3．判断方程x＋ln x＝3的实数解的个数． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　根据零点个数求参数范围 [典例讲评]　4．函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是(　　) A．0