【学霸笔记：同步精讲】4.5 4.5.3 函数模型的应用 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

4.5.3　函数模型的应用 [学习目标]　1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算) 2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．应用指数型函数模型、对数型函数模型解决实际问题时应注意些什么？ 问题2．建立函数模型解决实际问题的流程是什么？ 探究1　应用已知函数模型解决实际问题 [典例讲评]　【链接教材P148例3】 1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt．若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从110 ℃下降到40 ℃，大约需要的时间为(参考数据：ln 2≈0.69)(　　) A．39分钟 　 B．41分钟　 C．43分钟 　 D．45分钟 B　[由题意知θ0＝30，θ1＝110，θ＝40， ∴40＝30＋(110－30)e-0.05t，∴e-0.05t＝， ∴－0.05t＝ln ，∴0.05t＝ln 8＝3ln 2， ∴t＝＝60×ln 2≈60×0.69≈41．故选B．] 【教材原题·P148例3】 例3　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T．R．Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型 y＝y0er t， 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的增长率，r是常数． (1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型． (2)利用(1)中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符． (3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和增长率r． [解]　(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196．根据马尔萨斯人口增长模型，有 67 207＝55 196e9r， 由计算工具得 r≈0.021 876． 因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]． (2)分别取t＝1，2，…，8，由y＝55 196e0.021 876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如表4.5-4所示． 表4.5-4 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56 417 57 665 58 940 60 243 61 576 62 938 64 330 65 753 实际人口总数/万 56 300 57 482 58 796 60 266 61 465 62 828 64 563 65 994 根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y＝55 196e0.021 876t(t∈[0，9])的图象(图4.5-6)． 由表4.5-4和图4.5-6可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合． (3)将y＝130 000代入y＝55 196e0.021 876t， 由计算工具得t≈39.16． 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年(即1990年)，我国的人口就已达到13亿． 　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． [学以致用]　【链接教材P161复习参考题4T9】 1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝ ... ...