【学霸笔记：同步精讲】5.3 第2课时 公式五和公式六 讲义----2026版高中数学人教A版必修第一册

第2课时　公式五和公式六 [学习目标]　1．了解公式五和公式六的推导方法．(逻辑推理) 2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．角－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？ 问题2．诱导公式五、六的内容是什么？ 探究1　诱导公式五、六 问题1　在初中数学中讲锐角三角函数时，曾根据直角三角形两锐角互余关系得出锐角α与它的余角－α的三角函数之间的关系： sin ＝cos α，cos ＝sin α， 这样的关系式是否对任意角α成立呢？请结合如图所示的单位圆给予分析． 提示：成立．由单位圆可知，角－α与角α的终边关于直线y＝x对称． 所以P1的横坐标与P2的纵坐标相同，P1的纵坐标与P2的横坐标相同． [新知生成] 1．公式五 sin ＝cos α， cos ＝sin α． 2．公式六 sin ＝cos α， cos ＝－sin α． 【教用·微提醒】　诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． [典例讲评]　【链接教材P192例3、P193例4】 1．化简：． [解]　原式＝ ＝＝－cos α． 【教材原题·P192例3、P193例4】 例3　证明： (1)sin ＝－cos α； (2)cos ＝sin α． [证明]　(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α； (2)cos ＝cos ＝－cos ＝sin α． 例4　化简 ． [解]　原式 ＝ ＝ ＝－＝－tan α． 　三角函数式化简的方法和技巧 (1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题． (2)技巧：①异名化同名．②异角化同角．③切化弦． [学以致用]　【链接教材P194练习T2、T3】 1．化简：cos ＝(　　) A．sin x 　 B．cos x C．－sin x 　 D．－cos x C　[＝cos ＝cos ＝－sin x．] 【教用·备选题】 求证：＝－tan α． [证明]　左边＝ ＝－tan α＝右边，所以原等式成立． 1．【教材原题·P194练习T2】证明： (1)cos ＝sin α； (2)cos ＝sin α； (3)sin ＝cos α； (4)sin ＝－cos α． [证明]　(1)左边＝cos ＝cos ＝cos ＝sin α＝右边． (2)左边＝cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝sin α＝右边． (3)左边＝sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝右边． (4)左边＝sin ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝右边． 2．【教材原题·P194练习T3】化简： (1)sin (α－2π)cos (2π－α)； (2)cos2(－α)－； (3)． [解]　(1)原式＝sin αcos α＝sin2α． (2)原式＝cos2α－＝cos2α＋． (3)原式＝ ＝＝tan α． 探究2　利用诱导公式求值 [典例讲评]　【链接教材P193例5】 2．(源自苏教版教材)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α) 的值． [解]　由－180°<α<－90°，得 －105°<75°＋α<－15°， 则sin (75°＋α)<0． 又cos (75°＋α)＝， 所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－＝－＝－． 【教材原题·P193例5】 例5　已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值． 分析：联系条件与结论，注意到(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，由此可利用诱导公式解决问题． [解]　因为(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，所以由诱导公式五，得 sin (37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)] ＝cos (53°－α)， 因为－270°<α<－90°， 所以143°<53°－α<323°． 由sin (53°－α)＝>0，得143°<53°－α<180°． 所以cos (53°－α)＝－ ＝－＝－， 所以sin (37°＋α)＝－． 　利用互余(互补)关系求值的步骤 (1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等． (2)定公式．依据确定的关 ... ...