2.7.1 抛物线的标准方程 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.7.1抛物线的标准方程 学习目标 1.了解拋物线的定义，几何图形和标准方程．明确拋物线方程中参数的几何意义． 2.会求拋物线的标准方程，并能应用它解决有关问题． 重难点 重点：明确拋物线方程中参数的几何意义，会求拋物线的标准方程 难点：灵活运用拋物线的定义解决一些问题 三、知识梳理 1.抛物线的定义：设是平面内的一个定点，l是不过点的一条定直线，则平面上到的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为 ，其中定点称为抛物线的 ，定直线l称为抛物线的 . 2.焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 . 3.焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 . 四、例题讲解 例 1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： （1）抛物线的焦点到准线的距离是 3，而且焦点在 轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是 ． 例 2 分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到 轴的距离是 2，而且焦点在 轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一． 例 3 已知平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大 2，求 的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 五、课堂练习 1.抛物线的准线方程是，则实数a的值( ) A. B. C.8 D.-8 2.已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( ) A.2 B.3 C.6 D.9 3.已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为( ) A. B. C. D. 4.准线方程为的抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为( ) A. B.或 C. D.或 6.已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线的焦点为，则p的值为( ) A. B. C.1 D.2 8.以为焦点的抛物线标准方程是( ) A. B. C. D. 9.已知抛物线C的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_____. 10.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则_____. 六、课后练习 1.已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为( ) A. B. C. D. 2.已知点F是拋物线的焦点，是C上的一点，，则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( ) A. B. C.或 D.或 4.若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 5.（多选）已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( ) A. B. C. D. 6.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_____. 7.分别根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是. 8.写出抛物线的焦点坐标. 9.写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）； （2）. 10.求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程. 答案及解析 三、知识梳理 1.抛物线 焦点 准线 2. 3. 四、例题讲解 例题1 解：（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有 的形式，而且 ，因此所求标准方程为 准线方程为 ． （2）因为抛物线的焦点坐标是 ，所以抛物线的标准方程具有 的形式，而且 ，因此 ，从而所求抛物线的标准方程是 ，准线方程为 ． 例题2 解：（1）由已知可得焦点坐标为 ，因此抛物线的标准方程具有 的形式，且 4，从而所求抛物线的标准方程是 （2）因为双曲线 中，，又因为双曲线的焦点在 轴上，所以焦点坐标为 或 ．如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，此时抛物线的标准方程是 ；如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，此时抛物线的标准方程是 例题3 解：设 的坐标是 ，则根据题意可知 ，化简得 ．当 时，方程可变为 ，这表示的是端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图所示；当 时，方程可变为 ，这表示的是焦点 ... ...