4.2.1 随机变量及其与事件的联系 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.1随机变量及其与事件的联系 学习目标 了解随机变量的概念 理解随机变量与随机事件的关系 理解随机变量之间的关系 重难点 重点：随机变量与随机事件的关系 难点：随机变量的概念理解和取值 新知识导入 为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω. (1)Ω中包含的样本点数目是多少？ (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对于Ω中每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且是随机选取，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值. 但对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个. 数学中，X这样的变量称为随机变量. 三、知识梳理 1.一般地，如果随机试验的样本空间为 ，而且对于 中的每一个样本点，变量 X 都有唯一确定的实数值与之对应，就称 X 为一个 . 随机变量一般用大写英文字母 X，Y，Z，或小写希腊字母 表示.随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的 . 2.一般地，如果 X 是一个随机变量，都是任意实数，那么 ，， 等都表示事件，而且： 当 时，事件 与 ； 事件 与 相互对立，因此 . 3.随机变量之间的关系：一般地，如果 X 是一个随机变量， 都是实数且 ，则 也是一个随机变量. 由于 的充要条件是 ，因此 . 四、例题讲解 例1 先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω. （1）借助合适的符号，用列举法写出样本空间Ω； （2）求出随机变量X的取值范围. 例2为了调动员工的积极性，某厂某月实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1件产品，奖励100元.假设这个月中，该厂的每名员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都不超过50.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为X，获得的超额奖励为Y元，则X与Y均为随机变量. （1）当X=3时，Y的值是多少？总结X与Y之间的关系. （2）分别写出X，Y的取值范围. 例3 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作一小时获取30元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元. （1）当X=110时，求Y的值； （2）写出X与Y之间的关系式； （3）若P（X≤120）=0.6，求P（Y>4600）的值. 五、课堂练习 1.袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是( ) A.0，1，2 B.1，2，3 C.2，3，4 D.0，1，2，3 2.一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( ) A.所取球的个数 B.其中含红球的个数 C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数 3.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( ) A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和 C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 4.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25 5.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是( ) A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数 C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数 6.某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为X，则表示的试验结果是( ) A.第4次投篮命中 B.第4次投篮未命中 C.前3次投篮均未命中 D.投篮命中4次 7.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机 ... ...