第6章 空间向量与立体几何 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系中,已知点P(1,3,5),则点P关于x轴的对称点的坐标是( ) A.(-1,-3,5) B.(-1,3,-5) C.(1,-3,-5) D.(-1,-3,-5) 2.在空间直角坐标系中,a=(-2,m,3),b=(3,1,2),若a⊥b,则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,化简 -=( ) A. B. C. D. 4.若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( ) A.a,b+c,a+b B.a,a+c,a+b C.a+b+c,c,b D.b,a-b,a+b 5.在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC上一点,且5=t+2+3,则t=( ) A.1 B.2 C.3 D.-2 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=BC,E为CD的中点,F为PC的中点,则异面直线BF与PE所成角的余弦值为( ) A.- B. C.- D. 7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上.若点P到直线AA1和CD的距离相等,则A1P的最小值是( ) A. B. C.2 D. 8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=,BC=AA1=2,点P满足=m,其中m∈0,,则直线AP与平面BCC1B1所成角的最大值为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列利用方向向量、法向量判断线面位置关系的结论正确的是( ) A.若两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2 B.若直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是μ=(0,-5,0),则l∥α C.若两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n1=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,PD⊥底面ABCD,则( ) A.PA⊥BD B.直线PB与平面ABCD所成的角为 C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D.二面角A-PB-C的正弦值为 11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AB,BC上的动点,且=λ()(λ∈R),则( ) A.A1C1∥MN B.A1N⊥C1M C.存在无数条直线与直线AB,CC1,A1D1均相交 D.当三棱锥M-B1BN的体积最大时,二面角B1-MN-B的余弦值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.定义a b=|a|2-a·b.若向量a=(1,-2,3),向量b为单位向量,则a b的取值范围是 . 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=3,则异面直线A1C1与AD1所成角的余弦值为 . 14.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内,其余顶点均在平面α的同侧,AB=3,AD=4,AA1=5,若顶点B到平面α的距离为2,顶点D到平面α的距离为2,则顶点A1到平面α的距离为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). (1)求|a-2b|; (2)当|c|=2时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值; (3)若向量c与向量a,b共面,求x的值. 16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,E为AD的中点,底面ABCD是边长为2的正方形,且二面角P-BE-C的余弦值为. (1)求PD的长; (2)求点C到平面PEB的距离. 17.(15分)(2023新高考Ⅰ)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P的长. 18.(17分)如图,在四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:AC⊥平面BDE; (2)设DE⊥BE,DE=1,∠ACB=60°,点F在线段BD上,若CF与平面ABD所成角的正弦值为,求此时点F的位置. 19.(17分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2 ... ...
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