1.1.1 空间向量及其线性运算 【课前预习】 知识点一 1.大小 方向 长度 模 长度 |a| || 2.零向量 模为1 相等 相反 -a 互相平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 诊断分析 (1) × (2) √ (3)× (4) × [解析] (1)零向量也是有方向的,只是方向是任意的. (2)相等向量,如果起点相同,那么终点必相同. (3)相反向量不仅要求方向相反,而且要求模必须相等. (4) 空间内所有单位向量的长度都相等,但其方向不一定相同. 知识点二 1.空间向量 平面向量 2.和 三角形 平行四边形 b+a a+(b+c) 相反向量 三角形 a+(-b) 向量 数乘运算 λa |λ||a| 相同 相反 0 λa+λb λa+μa 诊断分析 1.(1)√ (2)√ (3)√ 2.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同. 平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用. 知识点三 1.a=λb 2.(1)非零向量a 平行 (2)方向向量 3.(1)平行 重合 (2)平行于平面α 在平面α内 (3)共面向量 4.p=xa+yb 诊断分析 1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)若存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立,则p与a,b一定共面. (2)当a,b共线,而p与a,b不共线时,不存在x,y∈R,使得p=xa+yb成立. (3)若=x+y,则与,共面,又因为,,有公共点M,所以P,M,A,B共面. (4)当,共线,而与,不共线时,=x+y不成立. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)CD (2)ABC [解析] (1)对于A,当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个空间向量相等,它们的起点和终点不一定相同,故A错误;对于B,根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但B中向量a与b的方向不一定相同,故B错误;对于C,根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量与向量的方向相同,模也相等,则=,故C正确;对于D,由相等向量的定义可知m=n=p,故D正确.故选CD. (2)由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量(不含)有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量有,,,,,,,,共8个,故D错误.故选ABC. 变式 ②③ [解析] 对于①,根据空间向量的定义,将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故①为假命题;对于②,根据正五棱柱的性质,得==-,故②为真命题;对于③, 空间中任意两个方向相反的单位向量的模都等于1,故③是真命题.故填②③. 探究点二 例2 (1)ABD [解析] 对于A,(-)+=+=,故A符合题意;对于B,(+)+=+=,故B符合题意;对于C,++=(+)+=(+)+=+=,故C不符合题意;对于D,(+)+=+=,故D符合题意.故选ABD. (2)解:因为M是BC的中点,所以=(+), 所以=+. 因为MN=ON,所以==+, 所以=-=-++. 因为AP=AN,所以===-++, 所以=+=+=++. 变式 (1)A (2)A [解析] (1)设E为BC的中点,连接AE,EF,BC1,则G在AE上,由题意可得=+=+=×(+)+(+)=++(-+)=-++=-++.故选A. (2)对于A,+2+2+=(+)+(+)+(+)=+,故A中结果不一定为零向量;对于B,2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0,故B中结果为零向量;对于C,++=++=+=0,故C中结果为零向量;对于D,-+-=(-)+(-)=+=0,故D中结果为零向量.故选A. 探究点三 例3 (1)D (2)-5 [解析] (1)若∥,则存在唯一实数λ使得=λ,即e1-2e2+e3=λ(-5e1-6e2+4e3),所以无解,所以,不共线,则O,P,Q三点不共线,故A不正确;若∥,则存在唯一实数μ使得=μ,即7e1+2e2-2e3=μ(-5e1-6e2+4e3),所以无解,所以,不共线,则P,Q,R三点不共线,故B不正确;=+=-4e1-8e2+5e3,若∥,则存在唯一实数t使得=t,即-4e1-8e2+5e3=t(7e1+2e2-2e3),所以无解,所以,不共线,则O,Q,R三点不共线,故C不正确;=+=2e1-4e2+2e3=2,所以∥,又点P为两向量的公共点,所以O,P,R三点共线,故D正确.故选D. (2) ... ...
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