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课件网) 2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程 探究点一 求直线的一般式方程 探究点二 利用一般式解决直线的平行和垂直问题 探究点三 含参数的直线的一般式方程的有关问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程. 2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化. 知识点一 直线的一般式方程 1.关于，的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于， 的二元 一次方程_____（其中， 不同时为0）叫作直线的 _____，简称一般式. 一般式方程 2.直线的一般式方程与直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、 截距式方程之间的互化： 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）将直线方程化为一般式为 ( ) √ （2）将直线方程化为截距式为 . ( ) × [解析] 当且时，将直线方程 可化为截距式 . （3）与轴或 轴平行的直线的方程不能写成截距式.( ) √ （4）经过原点的直线的方程都能写成斜截式.( ) × [解析] 轴经过原点，其所在直线的方程为 ，斜率不存在，所 以不能写成斜截式. （5）斜率为0的直线的方程没有点斜式.( ) × [解析] 若斜率为0的直线经过点 ，则其点斜式方程为 . 知识点二 二元一次方程与直线 在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程都表示一条直线；反之， 任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示. 例：点集表示的图形是直线 . 探究点一 求直线的一般式方程 例1 ［2025·安阳高二期中］根据下列条件分别写出直线的方程，并 化为一般式. （1）斜率是，且经过点 ； 解：由点斜式得直线的方程为 ，即 . （2）经过点，且垂直于 轴； 解：经过点，且垂直于 轴的直线斜率不存在，其方程为 ，即 . （3）过点 且在两坐标轴上的截距相等. 解：当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为 ， 将点的坐标代入，得，解得 ，所以直线的方程为 . 当直线在两坐标轴上的截距均为0，即直线过原点时，直线的方程为 ，即 . 综上，直线的方程为或 . 变式 写出下列直线的方程，并化成一般式. （1）经过点，斜率是 ； 解：因为直线经过点，斜率是 ，所以直线的点斜式方程 为，即 . （2）经过点，倾斜角是 ； 解：因为直线经过点，倾斜角是 ，所以斜率为 ，所 以直线的点斜式方程为，即 . （3）经过点，斜率是直线的斜率的 ； 解：设所求直线的斜率为，则依题意得 ， 又直线经过点，所以所求直线的方程为 ， 即 . （4）经过点，且在轴上的截距等于在 轴上截距的2倍； 解：当直线不过原点时，设所求直线的方程为 ，将 点的坐标代入，可得，解得 ，所以直线的 方程为 ； 当直线过原点时，设所求直线的方程为，则 ，解得 ，所以直线的方程为，即 . 综上，所求直线的方程为或 . （5）经过， 两点. 解：当时，直线的方程为,即 ； 当时，直线的方程为 ，即 . 因为当时，方程即为 ， 所以所求直线的方程为 . ［素养小结］ （1）若方程
表示直线,则需满足
,
不同时为0. （2）求直线的一般式方程时,可先求出其他形式的方程,再化为一般式. 探究点二 利用一般式解决直线的平行和垂直问题 例2 已知两条直线,, ,判断 两条直线的位置关系. 解：令,解得,所以当时，与 相交. 当时，与垂直.令,解得 . 当时，的方程为,的方程为,与 重合； 当时，的方程为,的方程为, . 所以当时，与相交，其中当时，与 垂直； 当时，与 重合；当时， . 变式 ［2025·江门高二期中］已知直线和点 . （1）求经过点，且与 平行的直线的方程； 解：因为所求直线与直线 平行，所以设所求直线的方程为 ， 将点的坐标代入，可得，解得 ， 故所求直线的方程为 . ... ...
