东城区20学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知复数，则 （A） （B） （C） （D）5 （3）已知为等差数列，为等比数列，，，，则 (A)4(B)7 (C)8(D)15 （4）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举。如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10 m，拱高为4 m。以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为 （A） （B） （C） （D） （5）设函数 ，则 （A） 是偶函数，且在区间 上单调递增 （B） 是奇函数，且在区间 上单调递增 （C） 是偶函数，且在区间 上单调递减 （D） 是奇函数，且在区间 上单调递减 （6）已知圆经过点 ，，则圆心到原点的距离的最小值为 (A)1(B)2 （C） （D） （7）设函数 若 在区间 上的最大值为9，则 (A) -1(B)0 （C）1（D） （8）设函数 ，则“ 的值域为 ”是“存在实数 ，使得 ”的 （A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 （C） 充要条件 （D） 既不充分也不必要条件 （9）把物体放在空气中冷却，如果物体初始温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物体的温度 （单位：）可由公式 求得，其中冷却系数 是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数。现将一杯初始温度 的水置于 的空气中冷却。水杯先在开盖状态下放置 ，随后加上盖子继续放置 ，此时水温降至 。已知在开盖状态和加盖状态下水杯中水的冷却系数分别为0.05和0.01。若 ，则 的值约为 （参考数据：） (A)10(B)20 (C)30(D)40 （10）如图，已知正方体 的棱长为1. 平面 ， 平面 和平面 将该正方体分割成若干个多面体， 则其中顶点 所在的多面体的表面积为 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在 的展开式中， 的系数为 _____ .（用数字作答） （12）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 _____ . （13）已知函数 的定义域为 ， 满足 且 ， 写出满足条件的一个函数解析式 _____ . （14）在平面直角坐标系 中， 已知点 ， ， 点 满足： ， . 若 ， 则 _____ ； 若 ， 则 的最大值为 _____ . （15）若函数 的定义域为 ， 且对任意正数 ， 都存在 ， 使得 ， 则称 具有性质 . 将具有性质 的函数所构成的集合记为 . 给出下列四个结论： ①存在 ， 使得 ； ②存在 ， 使得 且 ； ③若 ， 且 为增函数， 则 ； ④若 ， 且 为奇函数， 为偶函数， 则 . 其中正确结论的序号是 _____ . 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 在锐角△ABC中，，。 （Ⅰ）求b的值； (Ⅱ)若D为BC边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求AD的长。 条件①：； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：△ABC的周长为。 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 （17）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，，，M为AD的中点，E为棱PC上一点。 (Ⅰ)若E为棱PC的中点，求证：平面PAB； （Ⅱ）设直线AE与平面PAB所成角为，直线AE与平面ABCD所成角为。若，求的值。 （18）（本小题13分） 某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答. 比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分， ... ...
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