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课件网) 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 探究点一 相交直线的交点 探究点二 求两点间的距离 探究点三 坐标法的应用 探究点四 对称问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方 程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.能推导两点间的距离公式，会分析公式中相关量的几何意义. 3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离. 知识点一 两条直线的交点 1.已知同一平面内的两条直线 , ，则 _____ _____ 有唯一解 重合 _____ _____ _____ 无 _____ 相交 一个 无数个 有无数解 平行 无解 2.直线系方程 已知直线与 相交于点 ，则过点的直线（除 外）可表示为 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若点在直线上，则点 的坐标一定 满足直线 的方程．( ) √ （2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一 次方程组的解．( ) √ （3）若直线与直线的交点为 ，则 . ( ) √ （4）直线系方程 不能表示 直线 .( ) √ 知识点二 两点间的距离公式 ,两点间的距离公式为 _____. （1）当直线平行于轴时, _____; （2）当直线平行于轴时, _____; （3）特别地，原点与任一点间的距离 . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）点，点之间的距离为 .( ) × [解析] 点，点之间的距离为 . （2）点，点之间的距离为 .( ) × [解析] 点，点之间的距离为 . 2.（1）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,则 可怎样表示 解： , . （2）已知平面上的两点,,直线的斜率为 ,如何 用含的关系式表示， 两点间的距离 解： . 探究点一 相交直线的交点 例1（1）分别判断下列直线是否相交？若相交，求出它们的交点； 若不相交，说明它们的位置关系. ①和 ； 解：解方程组 得 故直线和相交，交点为 . ②和 ； 解：方程组有无数个解，这表明直线和 有无数 个公共点，故和 重合. ③和 . 解：方程组无解，这表明直线和 没有公共点， 故 . （2）求过直线和直线的交点 且与直线垂直的直线 的方程． 解：方法一：由解得 ． 直线与直线垂直且直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 直线的方程为 ， 即 . 方法二：根据题意设直线的方程为 ， 即 ， 直线与直线垂直， 直线 的斜率存在且不为0， ，解得， 直线 的方程为，即 . 变式（1）（多选题）［2025·石嘴山三中高二月考］ 下列说法中正 确的有( ) A.直线和的交点坐标为 B.直线和的交点坐标为 C.直线和 没有交点 D.直线，, 两两相交 √ √ √ [解析] 对于A，直线， ，两直线重合， 有无数个交点，故A错误； 对于B，由解得 所以与的交点坐标为 ， 故B正确； 对于C，直线， ，两直线的斜率相等且 两直线不重合，故与平行，所以与 没有交点，故C正确； 对于D，直线，,，可知直线,, 的斜率分别为,1, ，斜率都不相等，故三条直线两两相交，故D正确. 故选 . （2）［2025·浙江绍兴会稽联盟高二联考］若直线 经过两直线和的交点，则 ___. 4 [解析] 由可得 则两直线和的交点为 ， 由题意得, . ［素养小结］ （1）求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次 方程组. （2）求过两条直线交点的直线方程的两种方法： ①先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程； ②利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解. 拓展 （多选题）若直线， ， 不能围成三角形，则 的值可能为( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 因为直线，， 不 能围成三角形，所以或或过与的交点. 显然 ，则直线,,的斜率分别为，，. 当 时，有，即，解得； ... ...
