2.4.1 圆的标准方程（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册

2.4.1　圆的标准方程 【课前预习】 知识点一 1.(x-a)2+(y-b)2=r2　圆心　半径 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ [解析] (2)当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆. (3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是2. 知识点二 =　=　>　>　<　< 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题意可得圆的半径r=|AB|==5, 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4, 因为圆经过点C(0,0)和点D(0,2),所以解得或所以圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=4或(x+)2+(y-1)2=4. (3)因为EF的中点为(2,3),所以圆心为(2,3),又半径r=|EF|==,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=2. 例2　解:(1)由O(0,0),A(2,0)在圆上,得圆心在直线x=1上, 由A(2,0),B(2,-2)在圆上,得圆心在直线y=-1上,则圆心为(1,-1),半径r==, 故圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (2)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 依题意有可得所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 方法二:直线AB的斜率为=-1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为1, 又线段AB的中点坐标为(0,3),所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x+3. 由可得则圆心为C(-1,2),又圆的半径为|CA|==2, 所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 方法三:因为圆心在直线l:x+y-1=0上, 所以可设圆心的坐标为(a,1-a), 依题意有=,解得a=-1, 所以圆心坐标为(-1,2),半径r==2, 所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 变式1　(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25　[解析] 设圆心C的坐标为(a,b) ,则圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25.因为圆心C在直线2x-y+1=0上,所以2a-b+1=0.因为圆C过点P(-4,3),所以(-4-a)2+(3-b)2=25,所以或 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25. 变式2　解:(1)连接AB,则当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 易得线段AB的中点坐标为(0,1),即圆心坐标为(0,1),圆的半径为|AB|=,∴所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)连接AB,∵直线AB的斜率k=-3,线段AB的中点坐标为(0,1), ∴线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0. ∵圆心在直线2x-y-4=0上,∴直线2x-y-4=0与直线x-3y+3=0的交点即为圆心,∴圆心坐标为(3,2),半径为=2, ∴所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 探究点二 例3　解:(1)设圆心为C(a,b),半径为r,则由C为线段P1P2的中点,得a==4,b==6,即圆心为C(4,6). 连接CP1,则由两点间的距离公式得r=|CP1|==, 所以所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5. 连接CM,CN,CP,则|CM|==>, |CN|==, |CP|==<, 所以点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内. (2)易得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点A到圆心的距离为=5,点B到圆心的距离为=<5, 所以点A在圆上,点B在圆内. (3)由题意知 即解得0≤a<1,因此a的取值范围是[0,1).2.4.1　圆的标准方程 1.B　[解析] 圆的标准方程为(x+2)2+(y+2)2=2,所以圆心坐标为(-2,-2),半径为.故选B. 2.C　[解析] 由题意,设圆心坐标为(0,b),则圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,由圆过点(1,1)可得1+(1-b)2=1,解得b=1,则所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C. 3.A　[解析] 因为a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,所以所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,由此可知,点P(a,b)在圆C:x2+y2=8内.故选A. 4.B　[解析] 因为(1+3)2+(5-2)2=25<49,所以点P(1,5)在圆内,又圆心为(-3,2),半径为7,点P(1,5)到圆心的距离为=5,所以|PQ|的取值范围为[2,12],结合选项知|PQ|的值可能为7,故选B. 5.C　[解析] 设两个端点落在两坐标轴上的直径为AB,且A(a,0),B(0,b),则解得所以半径为=,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选C. 6.AD　[解析] ∵圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+ ... ...