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课件网) 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 探究点一 椭圆的简单几何性质 探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程 探究点三 求椭圆的离心率 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征，并用其标准方程分析推导 出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 2.能说明椭圆特征量的几何意义. 3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性 质的代数表达. 知识点 椭圆的简单几何性质 1.椭圆的几何性质 标准方程 图形 _____ _____ 性质 焦点 _____ _____ 焦距 范围 _____ _____ , , , , 标准方程 性质 对称性 关于_____对称 长轴 ,其中 为长半轴长 短轴 ,其中 为短半轴长 顶点 _____ _____ 离心率 _ _____ 轴、轴和原点 , , 续表 2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 （1）离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,用 表示，即_____, . （2）离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示,在中, ,记 ,则,越大, 越小,椭圆 越____;越小, 越大,椭圆越____. 扁 圆 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）设为椭圆的一个焦点， 为椭圆上任 一点，则的最大值为为椭圆的半焦距 .( ) √ （2）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( ) × [解析] 椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁; 离心率越小,椭圆就越圆. （3）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的 方程为 .( ) × [解析] 因为,,所以,.当椭圆的焦点在 轴上 时,椭圆的方程为;当椭圆的焦点在 轴上时,椭圆的方程为 . 探究点一 椭圆的简单几何性质 例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长分 别相等,且椭圆的焦点在 轴上. （1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; 解：由椭圆,可得, , 则,故椭圆 的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐 标为,,离心率 . （2）写出椭圆的方程,并写出,的取值范围及椭圆 的对称性、 顶点、焦点和离心率. 解：椭圆的方程为 . ①,的取值范围:, . ②对称性:关于轴、 轴、原点对称. ③顶点:,,, . ④焦点:, . ⑤离心率: . 变式（1）（多选题）已知椭圆， ，则 下列说法中错误的是( ) A.与的顶点相同 B.与 的长轴长相等 C.与的短轴长相等 D.与 的焦距相等 √ √ √ [解析] 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆 的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意得 , ,，, , . 对于A，的顶点坐标为，，的顶点坐标为， ，A中说法错误. 对于B， 的长轴长为，的长轴长为8，B中说法错误. 对于C， 的短轴长为4，的短轴长为，C中说法错误. 对于D，和的焦距都为 ，D中说法正确.故选 . （2）［2025·天津北辰区高二期中］已知椭圆 的 焦距是4，则该椭圆的长轴长为_____. [解析] 当焦点在轴上时，，解得 ，所以长轴长为； 当焦点在轴上时，，解得 （舍去）. 综上所述，椭圆的长轴长为 . ［素养小结］ 由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点： （1）已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式的方程， 则先化成标准形式的方程，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型. （2）焦点位置不确定的要分类讨论，找准
与
，正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、 短轴长、焦距不是
，
，
，而应是
，
，
. 探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程 例2（1）［2025·山东百师联盟高二联考］与椭圆 有相同 焦点，且长轴长为 的椭圆的方程是( ) A. B. C. D. √ [解析] 设所求椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为 ，因 为椭圆的焦点坐标为， ... ...
