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课件网) 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 探究点一 直线与椭圆的位置关系 探究点二 中点弦问题 探究点三 生活中的椭圆问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系 的相关问题. 2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题. 知识点一 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆 的位置关系的判断方 法： 由消去，得到一个关于 的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与 的取值的 关系如下表所示： 位置关系 解的个数 的取值 相交 ___ _____ 相切 ___ _____ 相离 ___ _____ 1 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知椭圆与点,则过点 可作出该 椭圆的一条切线.( ) × [解析] 易知点在椭圆 的内部,因此过点 作不出椭圆的切线. （2）直线与椭圆 的位置关系是 相交.( ) [解析] 易知直线恒过点 ,此点为椭圆的右顶点,且直 线斜率存在,故直线与椭圆相交. √ 知识点二 中点弦 解决椭圆中点弦问题的方法: （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一 个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别 代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 已知椭圆上两点 , ,的中点为,则有 两式 相减得,整理得 ,即直 线的斜率 . 探究点一 直线与椭圆的位置关系 例1 已知直线，椭圆.试问当 取何值时， 直线与椭圆 解：由得 ， . （1）相交； 当直线与椭圆相交时，，则 ，解得 . （2）相切； 解： 当直线与椭圆相切时，，则 ，解得 . （3）相离. 解：当直线与椭圆相离时，，则 ，解得 或 . 例1 已知直线，椭圆.试问当 取何值时， 直线与椭圆 变式（1）［2025·扬州大学附中高二期中］已知椭圆的左、右焦点 分别为，，长轴长为4，则直线 与椭 圆的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 [解析] 因为椭圆的长轴长为，所以，又 ，所以 . 因为椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆的方程为. 由消去得 , 解得，所以直线 与椭圆有1个交点.故选B. √ （2）已知直线与椭圆 相交，则椭 圆 的长轴长的取值范围是_ _____. [解析] 将与联立，消去 得 ，则，解得 ， 所以椭圆的长轴长为，故椭圆 的长轴 长的取值范围是 . ［素养小结］ 1.判断直线与椭圆的位置关系时，由直线方程与椭圆方程构成方程组， 消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
直线与椭圆相交；
直线与椭圆相切；
直线与椭圆相离. 2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外， 还可利用直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系” 转化为“点与椭圆的位置关系”判断. 探究点二 中点弦问题 例2 已知点是直线被椭圆 所截得的弦的中点，求 直线 的方程. 解：方法一:由题意可知直线的斜率存在，设直线 的方程为 ,直线与椭圆的两交点分别为, ,椭 圆的方程可化为 . 将直线方程与椭圆方程联立,消去 化简得 , 所以,解得,所以直线 的方程为 ,即 . 方法二:设直线与椭圆的交点为, , 则, ,两式相减, 得 . 因为, , 所以,即直线的斜率, 所以直线 的方程为，即 . 变式（1）［2025·深圳第二高级中学高二期中］已知中心在原点， 半焦距为4的椭圆 截直线 所得弦的中点的横坐标为 ，则椭圆的标准方程为 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 设直线与椭圆相交于, 两点， 弦的中点为，则，所以, ，直 线的斜率. 由 两式作差得， 则 ，所以，即，所以， 所以， ，，所以, ， 所以 ... ...
