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课件网) 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 直线与椭圆的综合应用 探究点一 弦长问题 探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆相交弦长 相关问题. 2.能灵活运用椭圆的定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. 知识点 弦长问题 求直线被椭圆截得的弦长的两种方法: （1）求出两交点坐标,用两点间的距离公式求解; （2）用 求解，其中直线 与椭圆的交点为,,为直线 的斜率. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( ) √ [解析] 由椭圆的对称性可知，若直线的斜率一定，则当直线过椭圆 的中心时，弦长最大. （2）已知直线与椭圆交于， 两点，设， ，则 .( ) √ [解析] . 探究点一 弦长问题 例1 ［2024·厦门一中高二月考］已知椭圆 ，过点 及左焦点的直线交椭圆于，两点，求 的长. 解：由题可知，，可得直线的方程为 . 由消去，得 ， . 设， ，则 . 变式 ［2025·浙江诸暨中学高二期中］已知椭圆 的离心率为，且椭圆过点 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：因为椭圆的离心率为，且椭圆 过点 ，所以可得 所以椭圆的标准方程为 . （2）若过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线 的方程. 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线 被椭 圆截得的弦长为 ，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即 ，由消去得 ， 变式[2025·浙江诸暨中学高二期中]已知椭圆 的离心率为，且椭圆过点 . 设直线与椭圆的交点为, ， 则， ， 所以 ，解得 ， 所以直线的方程为 . ［素养小结］ 直线与椭圆相交弦长的有关问题 （1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出两端点的坐标，再用 两点间的距离公式求弦长. （2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长. （3）设直线方程时，要注意斜率不存在的情况. 探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题 例2[2025·无锡一中高二期中]已知椭圆的 短轴长为2，且离心率为， 为坐标原点. （1）求 的方程； 解：由已知得所以 故的方程为 . 例2[2025·无锡一中高二期中]已知椭圆的 短轴长为2，且离心率为， 为坐标原点. （2）若过点且不与轴重合的动直线与椭圆相交于， 两 点，求面积的最大值及此时直线 的方程. 解：由题可设,, ， 将与联立，消去 得 ， 则，可得 ， 所以, ， 所以 ， 又点到直线的距离，所以 . 设，则,所以 ， 当且仅当，即时等号成立，此时满足 ， 所以面积的最大值为 ， 此时直线的方程为或 . 变式 已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 点在椭圆上，且的面积为 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：由题意可得可得 故椭圆的标准方程为 . （2）若椭圆上存在两点，关于直线对称，求 的取值范围. 解：当时，直线方程为，此时椭圆上不存在两点， 关于直线对称，故 . 连接，设,，则由题知 ， 设线段的中点为 . 因为直线过定点，点， 关于直线 对称，所以 . 因为点，在椭圆上，所以， ， 所以 ， 整理得 ，所以，所以 . 因为点在直线上，所以 ，则 . 由得 ，则或, 解得或，故 的取值范围为 . ［素养小结］ （1）解决椭圆
中的范围问题常用的关系有：
，
；②离心率
满足
； ③若一元二次方程有解，则判别式
. （2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理； ②利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解； ③利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理， 此时，应注意椭圆中， 的取值范围 ... ...
