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课件网) 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 探究点一 抛物线的几何性质 探究点二 焦点弦问题 探究点三 抛物线几何性质的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、 对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达. 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准 方程 图形 _____ _____ _____ _____ 焦点 坐标 准线 方程 标准 方程 开口 方向 _____ _____ _____ _____ 范围 _____ _____ _____ _____ 对称 轴 _____ _____ 向右 向左 向上 向下 ， ， ， ， 轴 轴 续表 标准 方程 顶点 坐标 _____ 离心 率 _____ 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线关于原点对称.( ) × [解析] 抛物线不关于原点对称. （2）抛物线只有一个焦点、一条对称轴，无对称中心.( ) √ [解析] 抛物线只有一个焦点、一条对称轴，抛物线没有对称中心. （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ [解析] 抛物线的离心率均为1. 知识点二 抛物线的焦半径、焦点弦与通径 1.焦半径与焦点弦 （1）抛物线上一点与焦点 连接的线段叫作焦半径. （2）过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段 称为抛物线的_____. 设 为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公 式和焦点弦长 为 焦点弦 标准方程 _ _____ _____ _____ _____ 2.通径 经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于, 两点,线段 称为抛物线的通径,通径的长 为____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线， 的焦点到准线的距离是相同的，离心 率也相同.( ) √ [解析] 抛物线， 的焦点到准线的距离都是2，是相同 的，离心率都是1，也相同. （2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .( ) [解析] 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 . （3）是抛物线上一点， 是抛物线的焦点， 则 .( ) [解析] 抛物线的焦半径长 . × × 探究点一 抛物线的几何性质 例1（1）已知抛物线，求出变量 的范围及该抛物线的顶点、 焦点、准线、对称轴. 解：由，得，变量的范围为 ， 该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为， ，直线 ， 轴. （2）抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆 的短轴所 在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方 程及抛物线的准线方程. 解：椭圆的方程可化为，其短轴在 轴上， 抛物线的对称轴为 轴， 设抛物线的方程为或，其中 . 抛物线的焦点到顶点的距离为3，即， ， 抛物线的标准方程为或 ，其准线方程为 或 . 变式 已知等边三角形的边长为2，为坐标原点， 轴， 且点 在第一象限. （1）求以为顶点且过点， 的抛物线的方程； 解：设与轴交于点 ，则由得， . 设抛物线的方程为 ，则， ， 抛物线的方程为 . （2）求（1）中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率 . 解：由（1）知，， 抛物线的焦点坐标为 ， 准线方程为，离心率 . ［素养小结］ 运用抛物线的几何性质要把握三个要点: （1）定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二 次项是
还是
,一次项的系数是正还是负. （2）定量:确定焦点到准线的距离
. （3）转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题 时适时转化可起到事半功倍的效果. 探究点二 焦点弦问题 例2 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点． （1）若直线的倾斜角为 ，求 的值； 解：因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率 ， 又，所以直线的方程为 . 由消去得 . 设，，则 ，而 ，所以 ... ...
