1.4.1用向量法证明平行，垂直问题难点训练微专题(解析版) 突破通法： 1.证明平行 （1）证明线线平行:找出两条直线的方向向量,利用共线向量定理证明. （2）证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面;③证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行. 注意:需要验证直线不在平面内. （3）证明面面平行:①证明两个平面的法向量平行;②证明一个平面的法向量与另一个平面内不共线的两个向量垂直;③转化为线线平行、线面平行问题. 2.证明垂直 （1）证明线线垂直:找出两条直线的方向向量,证明两方向向量垂直. （2）证明线面垂直:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直. （3）证明面面垂直:①证明两个平面的法向量垂直;②证明一个平面内存在一条直线的方向向量为另一个平面的一个法向量. 3.求平面法向量的方法与步骤 （1）待定系数法:①设平面的法向量为;②选取平面内两个不共线的向量,;③联立方程组并求解;④令一个坐标为非零常数（如）,确定平面的一个法向量. （2）观察法:若几何体中存在所求平面的垂线,只需说明或证明线面垂直,则该直线的方向向量就是所求平面的一个法向量. 微专题训练 一、单选题 1．已知空间向量与共线，则（ ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 2．已知点，，，则平面的法向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分别求出的坐标，利用空间向量共线的充要条件即可求出结果. 【详解】由题意得， 因为， 所以，解得. 故选：B. 4．已知空间向量，，若，则的值为（ ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 5．在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（ ） A． B． C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为 【答案】B 【分析】利用向量垂直的条件，即可判断A；通过计算向量的数量积判断其位置关系，即可判断B；利用法向量的定义，即可判断C，利用向量的夹角公式求出，进而求解三角形的面积，即可判断D． 【详解】因为，，，， 所以，，，． 对于A：，所以，故A正确； 对于B：，所以，故B错误； 对于C：由A、B可得：，，所以是平面的一个法向量， 故C正确； 对于D：因为，，所以， 所以，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为，故D正确． 故选：B 6．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（ ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，所以，即可求解． 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 7．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 8．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量共线，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 二 ... ...
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