1.4.2用空间向量夹角 题型1 异面直线所成的角 5 题型2 直线与平面所成的角 10 题型3 平面与平面所成的角 16 知识点一 空间向量基本定理 1．空间中两条直线所成的角 设分别是空间中直线的方向向量，且与所成角的大小为，通过作图讨论与的关系. 如图所示，可以看出或,所以空间中两条直线所成的角的范围为. 特别地， 或 (2)若或 (3)若 (4)两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角相等或互补. (5). 2．两条异面直线所成的角 (1)定义：设，是两条异面直线，过空间任意一点作直线,,则与b'所成的锐角或直角叫做与所成的角. ( 17 ) (2)范围：两条异面直线所成的角的取值范围是. 知识点二 直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成的角的求法 (1)可通过已知条件，从斜线上的一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得斜线与平面所成的角. (2)找斜线在平面内射影的方法 ①如果斜线在平面的一个垂面内，则在内的射影即垂面与的交线，如图1所示. ②若在图中不易找到过斜线且与平面垂直的平面，则可找一个与相交且与垂直的平面.如图2所示，设,则在内作,就有,所以就是在平面内的射影. 知识点三 最小角定理 1．线线角、线面角的关系 如图所示，已知是平面的斜线段，是斜足，线段垂直于，为垂足，则直线是斜线在平面内的正射影.设是内通过点的任意一条直线，与所成的角为,与所成的角为,与所成的角为，则.① 2．最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角. 说明：在公式①中，∵ 和都是锐角或直角，从而. 知识点四 用空间向量求直线与平面所成的角 如图1、图2所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有或 注：若是锐角，则若是钝角，则 知识点五 二面角的定义及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 棱为，两个面分别为，的二面角，记作如图，,,二面角也可以记作. 2．二面角的度量———平面角 在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线,,则叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面. 注：(1)二面角的大小等于它的平面角的大小，二面角的范围是. ①当两个半平面重合时，二面角为；②当两个半平面垂直时，二面角为称为直二面角；③当两个半平面在同一平面内，且延展方向相反时，二面角为. (2)二面角的平面角的三个特征： ①过棱上任意一点；②分别在两个面内作射线；③射线垂直于棱，如上图 3．两相交平面的夹角 (1)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (2)范围: 注：当两相交平面所成角为时，两平面重合或平行 知识点六 用空间向量求二面角的大小 1．用向量度量二面角 (1)分别在二面角的平面，内，作向量则可以用来度量二面角(如图1). (2)设则与二面角大小相等(如图2)或互补(如图3). 2．用向量法求二面角 第一步：寻求平面，的法向量，. 第二步：利用公式求出法向量，的夹角. 第三步：根据，的方向，确定平面，所构成的二面角的大小： (1)当，的方向如图1所示时，; (2)当，的方向如图2所示时，; 题型1 异面直线所成的角 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析 ... ...
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