第十三讲：函数奇偶性 知识总结与题型归纳讲义 (原卷版+解析版)-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳 一：函数的奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 定义的其他形式: 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 二：奇函数、偶函数的性质 （1）奇，偶函数定义域关于原点对称。 （2）奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。 （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性一致．偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4）奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.偶函数不一定有. 三：判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法 (2)图象法 四：奇偶性的运算 （1）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （2）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （3）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 五：常见的奇偶函数 （1）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 其他：对勾函数：为奇函数 飘带函数： 为奇函数 双绝对值函数：为奇函数;为偶函数 题型一：判断下列函数的奇偶性： 例1：下列关于函数奇偶性说法正确的是（ ） A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数 B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称 C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数 D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)； 题型二 奇函数、偶函数的图象 例3.（1）已知奇函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示． ①画出在区间上的图象． ②写出使的的取值集合． （2）已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，试画出在区间上的图象． 例4.已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型三 利用函数的奇偶性求值与求参 例5.若函数是偶函数，定义域为，则＝_____，＝_____； 例6.已知函数，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 例7.已知函数为奇函数，若，则_____． 例8.若函数＝为奇函数，则等于(　　) A．1 B．2 C． D．－ 例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则( ) A． B． C． D． 例10.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四： 利用奇偶性求函数的解析式 例11.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 例12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，_____． 例13.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ） A． B．2 C．1 D．3 例14.若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式. 题型五：奇偶性的常用结论 例15.若为奇函数，为偶函数，且定义域相同，则的奇偶性 。 例16.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 例17.已知，且，求. 例18.设函数，且，则等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5 例19.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为_____. 题型六：函数奇偶性与 ... ...