专题10.1 平面及其基本性质 (10大题型） 讲义 (原卷版+解析版)-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.1 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念、表示、画法 1.平面的概念 （1）平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念。 （2）几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的. 2.平面的表示 （1）通常用希腊字母α，β，7，…表示，如平面α，平面β等. （2）用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD。 （3）用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 3.平面的画法 （1）平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。 （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用_虚线画出来. 知识点二、空间点、直线与平面位置关系的符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A α 直线l在平面α内 l α 直线l在平面α外 l α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 1.平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 作用 公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 2.公理2的三个推论： 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α 推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α 推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α 题型01：平面的概念及表示 【例1】下面说法中正确的是（ ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【例2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【例3】若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例4】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ） A． B． C． D． 题型02：空间位置关系的画法 【例5】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【例6】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【例7】如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由． 【例8】如图，在长方体中，P为棱的中点． （1）画出平面PAC与平面ABCD的交线； （2）画出平面与平面ABCD的交线． 题型03：平面的基本性质及辨析 【名师点拨】1.确定平面的条件： （1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线. 2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 ... ...