1.4 课时4 用空间向量研究空间中的距离 【学习目标】 1.理解运用向量运算求解空间距离的原理.(数学抽象) 2.能运用空间向量法解决距离问题.(逻辑推理、数学运算) 3.理解空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.空间中有哪些距离 2.如何用向量研究距离 3.如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离 4.求点到直线的距离主要有哪些方法 5.如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,类比点到直线的距离的研究过程,则点P到平面α的距离应该怎样表示 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量的长度. ( ) (2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. ( ) (3)若平面α∥β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. ( ) 2.已知直线l的一个方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为( ). A.2 B. C. D. 3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2(4)改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.求直线FC到平面AEC1的距离. 【合作探究】 探究1 点到直线的距离 问题1:怎样表示向量b方向上的单位向量u 问题2:如何作出向量a在向量b上的投影向量 问题3:怎样用单位向量u表示向量a在向量b上的投影向量及投影向量的长度 问题4:在预学忆思3中,若AP与直线l垂直,点P到直线l的距离还等于吗 问题5:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P的坐标以及直线l,那么点A应该如何确定 问题6:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如图,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. 点P到直线l的距离PQ==. 例1 如图所示,几何体ABCD-EFGH为棱长等于1的正方体,若点P在正方体的内部且满 足=++,求点P到直线BC的距离. 【方法总结】求点P到直线l的距离的步骤:第一步,建系,在直线l上任取一点A (注意:选择便于计算的特殊点),求“参考向量(或)”的坐标;第二步,依据图形先求出直线l的单位方向向量u;第三步,代入公式求解. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,M,N分别是棱AB,CC1的中点,求点A1到直线MN的距离. 探究2 点到平面的距离 问题1:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P以及平面α,那么点A应该如何确定 求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影向量以及垂线段 问题2:求点到平面的距离主要有哪些方法 设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离d=. 例2 (2023年天津卷节选)在三棱台ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M为线段BC的中点.求点C到平面C1MA的距离. 【方法总结】用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n). (4)求距离:d=. 提醒:用向量法求线面距、面面距时,一般要转化为点面距. 在长方体中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则点D到平面A1BC1的距离为( ). A. B. C. D. 探究3 直线(平面)到平面的距离 问题1:如果直线l与平面α平行,那么如何求直线到 ... ...
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