15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 教学设计 课题 15.3.1第1课时 等腰三角形的性质 授课人 教学目标 1.理解等腰三角形的概念. 2.探索并证明等腰三角形的性质定理，并用以解决实际问题. 教学重点 探索并证明等腰三角形的性质定理 教学难点 运用等腰三角形的性质定理解决问题 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 两边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，则AB，AC为腰，BC为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角. 如图，在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 复习旧知，引入新知 探究新知 1.等边对等角 重合的线段：AB与AC，BD与CD； 重合的角：∠BAD与∠CAD，∠B与∠C，∠ADB与∠ADC. 【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 猜想:等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC 中，AB=AC．求证：∠B=∠C. 证明：作底边BC的中线AD． 在△ABD和△ACD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△ABD ≌△ACD(SSS)． ∴∠B=∠C． 还有其他的证法吗？ 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中 AB=AC , ∠BAD=∠CAD , AD=AD , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C . 【归纳】 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 【注意】 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中. 2.等腰三角形的“三线合一” 【思考】由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD, ∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC= 90°， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . 【归纳】 等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. （1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力 典例精析 【例】如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 【解】∵AB=AC,BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD（等边对等角）. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°. 解得x=36° 所以在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 引导学生在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题. 随堂检测 1.已知等腰三角形的底角为顶角的2倍，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____. 答案：36° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25° 答案：B 3.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（ ） A.10 B.5 C.4 D.3 答案：B 4．如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 解： ，D是边上的中点， ，， ， ． 5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= ×（180°-26°）=77°. ∵AD=CD，∴∠C=∠DAC. ∵∠A ... ...
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