1.1 直线与直线的方程 导学案（9课时）（含答案） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.1 课时1 直线的方程、直线的倾斜角和斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(直观想象) 2.掌握过两点的直线的斜率公式.(数学运算) 3.通过对直线的倾斜角和斜率的学习，培养学生数学抽象的核心素养. 【自主预习】 　　我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，由此可见，答案是否定的. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 1.a，b，c，…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗 2.一个点和一个方向能确定一条直线吗 3.下图中标的倾斜角α对不对 4.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗 坡度是斜率吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　) (2)平分坐标轴直角的直线的斜率一定为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则α∈R. (　　) (4)直线斜率的取值范围是(-∞，+∞). (　　) 2.若直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜角是(　　). A.45° B.135° C.45°或135° D.-45° 3.已知直线l经过原点和点(3，)，则直线l的斜率为(　　). A. B. C.1 D. 4.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1，1)，B(1，1)，C(1，-1)，求直线AB，BC，AC的斜率. 【合作探究】 探究1　直线的倾斜角 　　小明常在无聊的时候将笔放在手指上不停地转圈，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，拿着水笔在手上还没转足半圈，就“啪嗒”一声掉在桌子上. 问题1：若把图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在平面直角坐标系内，不论直线怎么旋转，它对x轴的相对位置有几种情形 问题2：直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角 问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗 1.倾斜角的概念 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示. 2.倾斜角的范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π). 特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 例1　 设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　). A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135° 【方法总结】求直线的倾斜角的方法及两个注意点 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两个注意点：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为；②注意直线倾斜角的取值范围是[0，π). 一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　). A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 探究2　直线的斜率 　　环法自行车赛是知名的年度多阶段公路自行车运动赛事，主要在法国举办，但也经常出入周边国家(如英国、比利时和西班牙等). 下图是某次比赛中所经过的某段公路的示意图. 问题1：OA，AB两段公路中哪段路更陡峭 为什么 用什么来刻画山坡的倾斜程度 怎样将“直观”量化 问题2：所有直线都有斜率吗 若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角为多少 问题3：在斜率公式k=中，为什么规定x1≠x2 1.改变量 在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx=x2-x1(Δx≠0)，Δy=y2-y1，即横坐标的改变量为Δx，纵坐标的改变量为Δy.比值k=反映了直线l的倾斜程度.k=的大小与两点P1，P2在直线上的位置关系无关. 2.斜率的定义 称k=(其中x1 ... ...