习题课 平面向量数量积的综合应用 例1 解:(1)因为在菱形ABCD中,=,=3, 所以=+=-, 故x=-,y=,所以3x+2y=-. (2)·=(+)·=-+-·, 在菱形ABCD中,因为||=6,∠BAD=60°, 所以||=6,<,>=60°, 所以·=6×6×cos 60°=18, 故·=-×62+×62-×18=-. 变式 (1)6 [解析] 取BC边的中点D,连接PD,因为·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-,所以·+=+≥2||·||,当且仅当||=||时取等号,设点A到BC边的距离为h,则||·||≥h||=3,当且仅当PD⊥BC时取等号,所以·+的最小值为6. (2)解:以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1, 所以A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1), 设=λ,0≤λ≤1,则=λ(-2,1),所以M(2-2λ,λ),所以=(2-2λ,λ),=(1-2λ,λ-1), 所以·=(2-2λ,λ)·(1-2λ,λ-1)=5λ2-7λ+2=5-, 故当λ=时,·取得最小值-. 例2 (1)A (2)D [解析] (1)如图,作=a,=b,OA⊥OB,延长OB至点C,使OB=BC,以OA,OC为邻边作矩形OCDA,则=2b,=a-2b,∠ACD即为a-2b与a的夹角,易知cos∠ACD==,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos∠ACD·=a. (2)如图,作=a,=c,=b或=b.由a·c=得cos∠COA=,又∠COA∈[0,π],所以∠COA=.当=b时,由a·b=得cos∠BOA=,又∠BOA∈[0,π],所以∠BOA=,所以∠BOC=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=;当=b时,由a·b=得cos∠DOA=,又∠DOA∈[0,π],所以∠DOA=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=0.综上,b·c=或0.故选D. 变式 D [解析] ∵|+-2|=|-+-|=|+|,|-|=||=|-|, ∴|+|=|-|,∴|+|2=,即||2+||2+2·=||2+||2-2·,故·=0,∴⊥,故△ABC为直角三角形.∵AB不一定等于AC,∴△ABC不一定为等腰直角三角形.故选D. 例3 解:(1)依题意,f(α)=a·b=1×sin α+1×sin β=sin α+sin β,又α+β=且α>0,β>0,所以α∈,且β=-α, 所以f(α)=sin α+sin=sin α+sincos α-cossin α=sin α+cos α==sin,所以f(α)=sin,α∈. (2)由(1)得f(α)=sin,α∈,则α+∈,所以sin∈, 则f(α)∈. 令<α+≤,解得0<α≤,所以f(α)的单调递增区间为;令≤α+<,解得≤α<, 所以f(α)的单调递减区间为. f(α)max=f=,f(α)没有最小值. 变式 解:(1)因为向量a=(2cos θ,sin θ),b=(1,-2),a∥b, 所以sin θ=-4cos θ,所以tan θ=-4,则==2. (2)因为θ=90°,所以a=(0,1), 则a·b=-2,所以向量a在向量b上的投影向量为|a|··=.习题课 平面向量数量积的综合应用 1.D [解析] 由题意可知||=|+|,所以|-|=|+|,两边平方得-2·+=+2·+,所以·=0,故⊥,则△ABC为直角三角形.故选D. 2.AC [解析] 设=a,=b,则|a|=4,|b|=2,a·b=4×2×cos 60°=4.对于A,=+=+=+,故A正确;对于B,由A选项可得=a+b,则==a2+a·b+b2=×16+4+4=12,所以||=2,故B错误;对于C,因为=a+b,=-=-a+b,所以·=·(-a+b)=-a2-a·b+b2=-×16-×4+4=-6,故C正确;对于D,在上的投影向量为·==,故D错误.故选AC. 3. [解析] 连接OC,则||=||=||=1,设∠AOC=θ,则∠BOC=-θ,所以·=(-)·(-)=·-·-·+=1×1×cos-1×1×cos θ-1×1×cos+1=-cos θ-cos=-cos θ-sin θ=-cos.因为θ∈,所以θ-∈,所以cos∈,故·=-cos∈. 4.[-2,2] [解析] 由a·b-(a-b)·c-1=0,得a·b-1=(a-b)·c=|a-b||c|cos
,则|a·b-1|=|a-b||cos|≤|a-b|,当且仅当a-b,c共线时取等号,两边平方得(a·b)2-2a·b+1≤a2+b2-2a·b,即(a·b)2+1≤32+22,解得-2≤a·b≤2,所以a·b的取值范围是[-2,2]. 5.解:(1)∵=a,=b,D是CB的中点, ∴=2b,∴=-=2b-a, ∴=+=a+=a+(2b-a)=a+b. (2)证明:如图,以点C为坐标原点,以CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系. 设A(0,a),则B(a,0),C(0,0),D. 设E(x,y),∵=2,∴(x,y-a)=2(a-x,-y),则∴即E, ∴=,=,∴·=×+(-a)×=0,∴⊥,故AD⊥CE. 6.解:(1)设=t,则=+=+t=+t(-)=(1-t)+t=+t. 设=μ=μ=μ+. 根据 ... ... 