1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.1.3 课时1 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学抽象、数学运算) 3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面向量的坐标运算，推广空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算.推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示的，即a=(x，y).问：在空间中向量该如何表示 2.若a=xe1+ye2+ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗 3.若向量=(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗 4.类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么 5.类比平面向量，空间中两个向量垂直的充要条件是什么 6.你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗 它们是否成立 为什么 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，a∥b，则==. （ ） (2)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同. （ ） (3)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. （ ） (4)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同. （ ） 2.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则3a+b=（ ）. A.(-2，-3，-2) B.(2，3，2) C.(-2，3，2) D.(4，3，2) 3.已知向量=(2-x，y-2，2)与=(-2，4-y，-4)共线，则x+y=（ ）. A.1 B.-1 C.0 D.2 4.已知向量a=(2，1，0)，b=(1，-2，4)，则(a+2b)·a=_____. 【合作探究】 探究1空间向量的坐标 如图，在四面体O-ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1. 问题1：如何用基底{，，}表示向量 问题2：若向量，，是两两垂直的单位向量，则在基底{，，}下的坐标是什么 1.单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. 2.空间向量的坐标表示 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，那么称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 例1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G分别为棱DD'，D'C'，BC的中点，以{，，}为基底，求向量，，，，，的坐标. 【变式设问】本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标. 【方法总结】基向量的选择和使用方法： (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底. (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘. 我们给出空间向量坐标的广义定义：设{a，b，c}为空间的一组基底，若m=xa+yb+zc，则我们定义m在{a，b，c}下的坐标为(x，y，z).已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a+b，a-b，c}是空间向量的另外一组基底，若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为（ ）. A. B. C. D. 探究2空间向量运算的坐标表示 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，=2i+3j-k，=2i+5j+3k，=i+j-3k. 问题1：如何求向量的坐标 问题2：如何求· 设a=(x1，x2，x3)，b=(y1，y2，y3)，u，v是两个实数. 空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+y1，x2+y2，x3+y3) 减法 a-b=(x1-y1，x2-y2，x3-y3) 数乘加法 ua+vb=(ux1+vy1，ux2+vy2，ux3+vy3) 数量积 a·b=x1y1+x2y2+x3y3 例2：已知a=(2，-1，-2)，b=(0，-1，4)，求a+b，a-b，a·b，2a·(-b)，(a+b)·(a-b). 【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题：(1)直接计算问题，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐 ... ...