【学霸笔记：同步精讲】第八章 §3 数学建模活动的主要过程 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§3　数学建模活动的主要过程 【例1】　关于外卖垃圾问题的分析与解决 [选题]　餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展．为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生．“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售．目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐．外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活．本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论． [开题]　从具体的处理方式考虑．通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式．而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染．因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染，而填埋数量与填埋场的体积有关．目前，填埋场的深度基本已达最大．因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形．在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的，并假设填埋场形状可以为任意形状．在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择．因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染． [做题]　改变填埋场形状以降低污染 1．问题分析 填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染．我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可．我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展．因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地．因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展．假设垃圾填埋场为规则的立体图形．因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样．所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小． 2．模型建立 我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形，如图：设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S．那么，S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2 (周围为污染区) 在表面积固定的情况下：ab为定值，c，π均为定值，因此使(a＋b)最小即可．由基本不等式可得：a＋b≥2，当且且当a＝b时取等号．因此若使S最小，即a＝b，因此我们得出结论：垃圾填埋场呈正方形比呈长方形要好． 之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好．为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立． (1)圆形 在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比． 设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r． d2＝πr2，r＝， 正方形总污染为S正方形＝πc2＋4dc＋d2， 圆形总污染为S圆形＝π＝·π＝d2＋2dc＋c2π， 作差得 S圆形－S正方形＝c2π＋2dc＋d2－πc2－4dc－d2＝2dc－4dc＝2dc(－2)， 又因为－2<0，因此S圆形