【学霸笔记：同步精讲】第二章 §2 2.2 函数的表示法 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

2.2　函数的表示法 学习任务 核心素养 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(重点、难点) 2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、易错点) 1．通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养． 2．通过求函数解析式，培养数学运算素养． 1．函数的表示方法有哪几种？ 2．函数的表示方法各有什么优缺点？如何选择函数的表示方法表示具体问题？ 3．什么是分段函数？ 4．分段函数是多个函数吗？ 5．如何画分段函数的图象？ 知识点1　函数的表示法 1．函数的三种表示法各有什么优缺点？ [提示]　 1．函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的定义域是_____，值域是_____． [答案]　[－1，0)∪(0，2]　[－1，1) 2．若反比例函数f (x)满足f (3)＝－6，则f (x)的解析式为_____． [答案]　f (x)＝－ 知识点2　分段函数 (1)分段函数 如果函数y＝f (x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． (2)分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心圈还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 2．函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？ [提示]　函数y＝是分段函数，它是一个函数． 3．已知f (x)＝则f (－2)＝_____． [答案]　2 4．函数y＝的定义域为_____，值域为_____． [答案]　(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞) 类型1　函数的表示法 【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 　1．解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示． 2．在用三种方法表示函数时，要注意： (1)解析法要注明函数的定义域； (2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法要注意图象是散点还是连续的曲线． [跟进训练] 1．已知函数f (x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f (x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f ( g(1))的值为_____；当g( f (x))＝2时，x＝_____． 1　1　[由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f (g(1))＝f (3)＝1． 由于g(2)＝2，∴f (x)＝2，∴x＝1．] 类型2　函数图象的作法及应用 【例2】　【链接教材P56例3，P57例4】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]； (4)y＝ [解]　(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． (4)函数对应图象如图所示： 由图可得其值域为(－6，6]． 【教材原题·P56例3】 例3　画出函数y＝|x|的图象． [解]　由绝对值的意义，可知 y＝|x|＝ 其图象为第一、第二象限的角平分线，如图2-6． 【教材原题·P57例4】 例4　画出取整函数y＝[x]的图象． [解]　依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z． 它的图象如图2-7． 　画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表———先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f (x)，用表格的形式表示出来； ②描 ... ...