【学霸笔记：同步精讲】第六章 §4 4.1 样本的数字特征 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 学习任务 核心素养 1．会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点) 2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理解释和决策．(难点) 1．通过对样本数字特征的计算，培养数学运算素养． 2．借助利用样本的数字特征估计总体的数字特征，培养数据分析素养． 1．平均数、中位数、众数的概念是什么？如何求解？有何意义？ 2．极差、方差、标准差的概念是什么？如何求解？有何意义？ 1．众数、中位数、平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数据． (2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数． (3)平均数：如果n个数据x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数据的平均数． 2．极差：数据中最大值和最小值的差． 3．方差 (1)公式：s2＝． (2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度． 4．标准差 s＝＝． (1)众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？ (2)标准差、方差的意义是什么？ [提示]　(1)三种数字特征的优缺点比较： 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 (2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 1．下列结论正确的是_____(填序号)． ①平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化． ②中位数反映了一组数据的中心的情况，中位数不受极端值的影响． ③一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关． [答案]　①②③ 2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(　　) A．84，68 　 B．84，78 C．84，81 　 D．78，81 C　[将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81．] 3．某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为_____，方差为_____，标准差为_____． 11　6.8　　[依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为＝11． 由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8． s＝＝．] 类型1　平均数、中位数和众数的计算 【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c 　 B．a>c>b C．c>a>b 　 D．c>b>a D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7． 将数据从小到大排列为11，13，15，15，16，16，17，18，18，18，则其中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c>b>a．] 　1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行． 2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性． [跟进训练] 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数 ... ...