【学霸笔记：同步精讲】第一章 §2 2.1 必要条件与充分条件 讲义--2026版高中数学北师大版必修第一册

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 学习任务 核心素养 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养． 1．什么是必要条件？ 2．什么是充分条件？ 3．什么是充要条件？ 知识点1　必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 知识点2　充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？ (2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件． (2)这五种表述形式是等价的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立． (　　) (4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设集合M＝{x|00，q：x>0，y>0； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． [解]　(1)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p q．反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p． 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0． 故p q，但q p． 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 四边形的对角线相等， 所以p是q的既不充分也不必要条件． 【教材原题·P17例3】 例3　在 ... ...