4.2 实际问题的函数建模 同步练习 一、选择题 1.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次 ,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( ) A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) [答案] D [解析] 因为自行车x辆,∴电动车4 000-x辆,y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200,故选D. 2.用长度为24m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3m B.4m C.6m D.12m [答案] A [解析] 如图所示,设隔墙长为xm,则矩形长为=12-2x(m). ∴S矩形=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18. ∴当x=3m时,矩形的面积最大. 3.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( ) A.y=0.95·m B.y=(1-0.05)·m C.y=0.9550-x·m D.y=(1-0.0550-x)·m [答案] A [解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%,则(q%)50=0.95,∴q%=0.95, 即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y=0.95·m. 4.某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A.14 400亩 B.172 800亩 C.17 280亩 D.20 736亩 [答案] C [解析] 因为年增长率为20%,所以第四年造林为10 000×(1+20%)3=17 280(亩),故选C. 5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表: x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) A.y=log2(x+1) B.y=2x-1 C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1 [答案] D [解析] 代入数值检验,把x=2代入可排除A、B、C,把x=1,2,3 代入D选项,符合题意. 6.某种动物繁殖数量y(只)与繁殖时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则第七年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 [答案] A [解析] ∵由题意知,当x=1时,y=100, 即100=alog22, ∴a=100. ∴y=100log2(x+1). ∴当x=7时,y=100log28=300(只). 二、填空题 7.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文密文密文明文 已知加密函数为y=ax-2(x为明文、y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是_____. [答案] 4 [解析] 依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6, 故6=a3-2,解得a=2, 所以加密函数为y=2x-2, 因此当y=14时,由14=2x-2, 解得x=4. 8.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为_____km/h时,汽车的耗油量最少. [答案] 35 [解析] 由Q=0.0025v2-0.175v+4.27 =0.0025(v2-70v)+4.27 =0.0025[(v-35)2-352]+4.27 =0.0025(v-35)2+1.2075. ∴v=35km/h时,耗油量最少. 三、解答题 9.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件. (1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-成本) [解析] (1)当0
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