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课件网) 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.3 平面与平面平行 第2课时 平面与平面平行的性质 探究点一 面面平行的性质定理的应用 探究点二 平行关系的综合应用 【学习目标】 1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质 定理,并能够证明. 2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 知识点 两个平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 两个平面 _____，如果另 一个平面与这两 个平面相交,那 么两条交线 _____ _____ _____ 平行 平行 线线平行 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）如果两个平面均平行于第三个平面，那么这两个平面平行.( ) √ （2）若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线相互平行. ( ) × [解析] 因为两个平面平行，所以分别在两个平面内的两条直线无公 共点，它们平行或异面. （3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面.( ) √ 2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等，试判断这两个平面的位 置关系. 解：如图所示，两种情况均满足 且 ，故这两个平面的位置关系为平行或相交. 探究点一 面面平行的性质定理的应用 例1 如图，直四棱柱 被 平面 所截，截面为，其中在 上，在上，且 ，证明： . 解：在直四棱柱 中，平面 平面 ， 又平面 平面，平面 平面，所以 . 又且， ， 所以且 ， 则四边形 是平行四边形， 所以，即 ， 又，，所以 . 变式 已知平面平面 ，是 ， 外一点，过点的直线 与 ， 分别交于点，，过点的直线与 ， 分别交于点， ， 且，，，求 的长. 解：连接，，， 直线和 可确定一个平 面 ，则，. 又 ，. 当点 位于平面 ， 同侧时，如图①， 则，， ， . 当点位于平面 ， 之间时，如图②， 则 ，，，. 故或 . ［素养小结］ 应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤 探究点二 平行关系的综合应用 例2 如图，在正方体中，是的中点， ， ，分别是，， 的中点. （1）求证：直线平面 ； 证明：如图，连接，由为 的 中位线，可得 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以平面 . （2）求证：平面平面 ； 证明：由题意知，又 平面 ， 平面，所以 平 面. 由（1）可得平面 ， 又， 平面， 平面， 所以平面平面 . （3）若正方体的棱长为1，过，， 三点作正方体的截面，画出 截面与正方体的交线，并求出截面的面积. 解：如图，取的中点，连接 ，，, 可得，. 取 的中点，连接，， ,可得 ，，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形. 易知平行四边形为过点，， 的截面， 且 ， 所以平行四边形为菱形. 连接,，易得, ， 所以截面的面积为 . 变式 [2024·三明一中高一期中] 如图，已知四棱锥 中， 底面是平行四边形，为侧棱 的中点. （1）求证：平面 ； 证明：如图，连接,设 ，连接 ， 因为四边形 是平行四边形， 所以 ， 又为侧棱的中点，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . （2）若为棱的中点，求证：平面 ； 证明： 连接，因为为棱 的中点， ， 所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 由（1）知，又 平面， 平面，所以平面 . 又，, 平面 ， 所以平面平面 . 又 平面，所以平面 . （3）设平面 平面 ，求证： . 证明： 因为， 平面， 平面 ， 所以平面 . 又平面 平面， 平面 ， 所以 . ［素养小结］ （1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行， 这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的. （2）解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现. 拓展 如图，在正方体中，，分别是棱 和棱 的中点. （1）求证：平面平面 . 证明：连接，如图.，分别是棱 和棱 的中点，，且， 四边形为平行四边形，则. 又 平面， 平面，平 ... ...
