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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质 探究点一 求直线与平面所成的角 探究点二 线面垂直的性质定理的应用 【学习目标】 1.理解直线和平面所成的角的概念. 2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质 定理,并能够证明. 3.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 知识点一 直线和平面所成的角 1.斜线、 射影的定义 （1）斜线:一条直线与一个平面 相交,但 不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面 的_____，斜线和平面的交点 叫作斜足， 如图. 斜线 （2）射影:过斜线上斜足以外的一点 向平 面 引垂线,过垂足和斜足的直线 叫作斜线在这个平面上的_____. 这里要注意两点:一是点 具有任意性,可通 过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的 射影 射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段. 2.直线和平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角，叫作这条直 线和这个平面所成的角.如图所示,_____就是斜线和平面 所 成的角. 射影 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 .( ) × [解析] 平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 ，任 意一条直线和平面所成的角的取值范围才是 . （2）平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这 个平面所成的角.( ) × [解析] 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线 和这个平面所成的角. （3）平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条 直线所成的角中最小的角.( ) √ [解析] 如图， ，斜线在平面 上 的射影为， 为斜线与平面 所成的角， 为斜线与平 面 内除外的任意一条直线 所成的角. 作，垂足为，则，.因为 ，所以 ，故 . 知识点二 直线和平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 _____于同一个平 面的两条直线 _____ _____ _____ 线面垂直 线 线平行 垂直 平行 前面学习了空间中两直线的平行，下面回顾一下证明两直线平行的 方法: （1）平面几何知识：在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行. （2）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. （3）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直 线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. （4）面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两 个平面相交，那么两条交线平行. （5）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直.( ) √ （2）过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.( ) √ （3）垂直于同一条直线的两个平面平行.( ) √ 2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂 直于这个平面吗 解：不垂直. 假设另一条直线也垂直于这个平面，则根据线面垂直的性质定理知， 这两条直线互相平行，与这两条直线是异面直线矛盾，故另一条直线 不垂直于这个平面. 探究点一 求直线与平面所成的角 例1 如图，在三棱柱中，底面 是等边三角形，且 底面，若，，求直线与平面 所成角的正弦值. 解:如图，取的中点，连接， . 因为在三棱柱中，底面 是 等边三角形，所以底面 是等边三角形， 从而. 因为 平面 ， 平面，所以， 又， 平面， 平面, 所以 平面 ， 因此为直线与平面所成的角. 因为 ,,所以 , 故直线与平面所成角的正弦值为 . 解：在正方体中，连接 ， 设，连接 ，如图. 因为四边形 是正方形， 所以. 因为 平面， 平面， 所以 ， 变式 在正方体中，求 ... ...
